Question

11．四邊形AOBC中，BC∥OA，OB⊥OA，點E為線段OA延長線上一點，D為線段OB上一動點．
（1）如圖1，當(dāng)AD⊥AC時，∠ODA的角平分線DP與∠CAE的角平分線AF的反向延長線交于點P．
①求證：∠ADO=∠CAE；
②求∠APD的度數(shù)．
（2）如圖2，當(dāng)D點在線段OB上運動時，作DM⊥AD交CB于M，∠BMD的角平分線MN與∠DAO的平分線AN交于N．當(dāng)D點在運動的過程中，∠N的大小會發(fā)生變化嗎？如果不變，請寫出∠N的值．

Answer 1

分析 （1）①用同角的余角相等即可得到∠ADO=∠CAE；②用同角的余角相等和角平分線的意義即可得出∠APD的度數(shù)；
（2）利用角平分線的意義和互余兩角的關(guān)系，得出∠BNN+∠OAN=45°，再過N作NF∥BC，則NF∥AO，進(jìn)而得到∠ANM=∠MNF+∠ANF=∠BNN+∠OAN=45°．

解答 解：（1）①如圖，∵OB⊥OA，AD⊥AC，
∴∠DAO+∠ADO=90°，∠CAE+∠DAO=90°，
∴∠ADO=∠CAE；
②∵AD⊥AC，
∴∠CAF+∠DAP=90°，
∵∠ODA的角平分線DP與∠CAE的角平分線AF的反向延長線交于點P，∠ADO=∠CAE，
∴∠CAF=$\frac{1}{2}$∠CAE=$\frac{1}{2}$∠ADO=∠ADP，
∴∠ADP+∠DAP=90°，
∴∠APD=90°；

（2）不變，∠ANM=45°．
理由：如圖，∵∠AOD=90°，
∴∠ADO+∠DAO=90°，
∵DM⊥AD，
∴∠ADO+∠BDM=90°，
∴∠DAO=∠BDM，
又∵Rt△BDM中，∠BMD+∠BDM=90°，
∴∠DAO+∠BMD=90°，
又∵∠BMD的角平分線MN與∠DAO的平分線AN交于N，
∴∠BNN=$\frac{1}{2}$∠BMD，∠OAN=$\frac{1}{2}$∠DAO，
∴∠BNN+∠OAN=$\frac{1}{2}$（∠DAO+∠BMD）=45°，
如圖2，過N作NF∥BC，則NF∥AO，
∴∠BMN=∠MNF，∠OAN=∠ANF，
∴∠ANM=∠MNF+∠ANF=∠BNN+∠OAN=45°，
∴D點在運動過程中，∠ANM的大小不變，其值為45°．

點評 本題主要考查了平行線的性質(zhì)的運用，解決問題的關(guān)鍵是掌握：同角的余角相等；兩直線平行，內(nèi)錯角相等．