Question

8．若實(shí)數(shù)a、b使得關(guān)于x的不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x+{a}^{2}≤2a}\\{x+6≥\sqrt}\end{array}\right.$的整數(shù)解只有8個(gè)，則a+b=1．

Answer 1

分析 先解關(guān)于x的不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x+{a}^{2}≤2a}\\{x+6≥\sqrt}\end{array}\right.$，根據(jù)整數(shù)解只有8個(gè)，得到$\sqrt$-6≤x≤-a²+2a，即（a-1）²≤x+1≤7-$\sqrt$，再根據(jù)7-$\sqrt$≤7，（a-1）²≥0，即可得到b=0，a=1，進(jìn)而得出結(jié)論．

解答 解：由不等式x+a²≤2a，得：x≤-a²+2a，
由不等式x+6≥$\sqrt$，得x≥$\sqrt$-6，
∵關(guān)于x的不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x+{a}^{2}≤2a}\\{x+6≥\sqrt}\end{array}\right.$的整數(shù)解只有8個(gè)，
∴$\sqrt$-6≤x≤-a²+2a，
∴a²-2a≤x≤6-$\sqrt$，
∴a²-2a+1≤x+1≤7-$\sqrt$，
即（a-1）²≤x+1≤7-$\sqrt$，
∵$\sqrt$≥0，
由7-$\sqrt$≤7，可知不大于7-$\sqrt$的正整數(shù)最多有7個(gè)，
由（a-1）²≥0，可知不小于（a-1）²的非正的整數(shù)最多有1個(gè)，是0，
∴當(dāng)7-$\sqrt$=7，（a-1）²=0時(shí)，滿足不等式組（a-1）²≤x+1≤7-$\sqrt$的整數(shù)解有8個(gè)，
即當(dāng)b=0，a=1時(shí)，滿足不等式組a²-2a≤x≤6-$\sqrt$的整數(shù)解有8個(gè)，
此時(shí)，a+b=1，
故答案為：1．

點(diǎn)評 本題主要考查了一元一次不等式組的整數(shù)解，解決此類問題的關(guān)鍵在于正確解得不等式組或不等式的解集，然后再根據(jù)題目中對于解集的限制得到下一步所需要的條件，再根據(jù)得到的條件進(jìn)而求得不等式組的整數(shù)解．