Question

如圖，已知正比例函數和反比例函數的圖象都經過點A（3，3）。
（1）求正比例函數和反比例函數的解析式；
（2）把直線OA向下平移后與反比例函數的圖象交于點B（6，m），求m的值和這個一次函數的解析式；（3）第（2）問中的一次函數的圖象與x軸y，軸分別交于點C、D，求過A、B、D三點的二次函數的解析式；
（4）在第（3）問的條件下，二次函數的圖象上是否存在點E，使四邊形OECD的面積S₁與四邊形OABD的面積S滿足：？若存在，求點E的坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）設正比例函數的解析式為y=k1x（k1≠0）， 因為y=k1x的圖象過點A（3，3）， 所以3=3k1， 解得k1=1， 故這個正比例函數的解析式為y=x， 設反比例函數的解析式為（k2≠0）， 因為的圖象過點A（3，3）， 所以， 解得k2=9， 故這個反比例函數的解析式為；
（2）因為點B（6，m）在的圖象上， 所以， 則點， 設一次函數解析式為y=k3x+b（k3≠0）， 因為y=k3x+b的圖象是y=x向下平移得到的， 所以k3=1， 即y=x+b， 又因為y=x+b的圖象過點， 所以 解得， 所以一次函數的解析式為；
（3）因為的圖象交y軸于點D，所以D的坐標為， 設二次函數的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0）， 因為y=ax2+bx+c的圖象過點A（3，3）、、， 所以　　　 解得 這個二次函數的解析式為；
（4）∵交x軸于點C， ∴點C的坐標是， 如圖所示，   假設存在點E（x0，y0），使， ∵四邊形CDOE的頂點E只能在x軸上方， ∴y0>0， ∴S1=S△OCD+S△OCE， ∴　　 ∴ ∵E（x0，y0）在二次函數的圖象上， ∴ 解得x0=2或x0=6， 當x0=6時，點與點B重合，這時CDOE不是四邊形， 故x0=6舍去， ∴點E的坐標為。