Question

15．如圖，已知拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+ax+4a與x軸交于點A、B，與y軸負半軸交于點C且OB=OC，點P為拋物線上的一個動點，且點P位于x軸下方，點P與點C不重合．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）若△PAC的面積為$\frac{1}{2}$，求點P的坐標；
（3）若以A、B、C、P為頂點的四邊形面積記作S，則S取何值時，對應(yīng)的點P有且只有2個？

Answer 1

分析 （1）直接利用OB=OC，得出B點坐標，進而代入函數(shù)解析式求出答案；
（2）利用①如圖1，P在B、C之間時，即0＜m＜4以及②如圖2，點P在A、C之間時，即-2＜m＜0，進而得出答案；
（3）利用①當點P在A、C之間時，即-2＜m＜0以及②當點在B、C之間時，即0＜m＜4，結(jié)合二次函數(shù)最值求法得出答案．

解答 解：（1）∵拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+ax+4a與y軸負半軸交于點C，
∴C（0，4a），4a＜0，
∵OB=OC，
∴B（-4a，0），
∵B在拋物線上，
∴$\frac{1}{2}$（-4a）²+a•（-4a）+4a=0，
解得a=0或a=-1，
∵a＜0，
∴a=-1，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-x-4；

（2）設(shè)P（m，$\frac{1}{2}$m²-m-4），過點P作y軸垂線，交AC于點M，
AC的解析式為：y=-2x-4．
①如圖1，P在B、C之間時，即0＜m＜4，
可得M（-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{1}{2}$m，$\frac{1}{2}$m²-m-4）
∴PM=m-（-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{1}{2}$m）
=$\frac{1}{4}$m²+$\frac{1}{2}$m
當S_△PAC=$\frac{1}{2}$時，
∴$\frac{1}{2}$|PM|×4=$\frac{1}{2}$，
∴（-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{1}{2}$m）×4=1，
解得：m=-1±$\sqrt{2}$，
∵0＜m＜4，
∴m=-1+$\sqrt{2}$，
y_P=-$\frac{3}{2}$-2$\sqrt{2}$，故P（-1+$\sqrt{2}$，-$\frac{3}{2}$-2$\sqrt{2}$）；

②如圖2，點P在A、C之間時，即-2＜m＜0，過P作y軸平行線交于AC于D點，
∵A（-2，0），C（0，4），
∴直線AC的解析式為y=-2x-4，
∴D（m，-2m-4），
∴PD=-2m-4-（$\frac{1}{2}$m²-m-4）=-$\frac{1}{2}$m²-m，
∴S_△PAC=$\frac{1}{2}$PD（x_C-x_A）=-$\frac{1}{2}$m²-m，
∴-$\frac{1}{2}$m²-m=$\frac{1}{2}$，解得m=-1，
∴P（-1，-$\frac{5}{2}$），
綜上，符合條件的點P有兩個，分別是（-1+$\sqrt{2}$，-$\frac{3}{2}$-2$\sqrt{2}$）或（-1，-$\frac{5}{2}$）；

（3）由題意可得：P（m，$\frac{1}{2}$m²-m-4），

①如圖3，當點P在A、C之間時，即-2＜m＜0，連接AC，
則S_{四邊形APCB}=S_△PAC+S_△ABC，
由（2）得S_△PAC=-$\frac{1}{2}$m²-m，
∵A（-2，0），B（4，0），C（0，-4），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CO=12，
∴S=-$\frac{1}{2}$m²-m+12=-$\frac{1}{2}$（m+1）²+$\frac{25}{2}$，
∵-2＜m＜0，
∴12＜S＜$\frac{25}{2}$，
此時當12＜S＜$\frac{25}{2}$，對應(yīng)的點P有且只有2個；

②如圖4，當點在B、C之間時，即0＜m＜4，連接PA，
則S_{四邊形APCB}=S_△PAC+S_△APB，
由（2）得S_△PAC=$\frac{1}{2}$m（m+2），
又S_△PAB=$\frac{1}{2}$AB×|y_P|，
∵P在第四象限，
∴y_P＜0，
∴S_△PAB=$\frac{1}{2}×$AB×|y_P|=$\frac{1}{2}×6$×（-$\frac{1}{2}$m²+m+4），
∴S=S_△ACP+S_△APB=-m²+4m+12=-（m-2）²+16，
∵0＜m＜4，12＜S＜$\frac{25}{2}$，
此時當12＜S＜16時，對應(yīng)的點P有且只有2個，
當S=16時，對應(yīng)的點P有且只有1個，
由①②得：
當12＜S＜$\frac{25}{2}$，對應(yīng)的點P有且只有2個；
當12＜S＜16時，對應(yīng)的點P有且只有2個，
當S=16時，對應(yīng)的點P有且只有1個；
綜上所述：$\frac{25}{2}$＜S＜16時，對應(yīng)的點P有且只有2個．

點評 此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及二次函數(shù)最值求法以及三角形面積求法等知識，利用數(shù)形結(jié)合以及分類討論得出符合題意的答案是解題關(guān)鍵．