Question

如圖，已知拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（-1，0），另一個(gè)交點(diǎn)為B，與y軸的交點(diǎn)為C（0，-3），其頂點(diǎn)為D，對(duì)稱軸為直線．

（1）求拋物線的解析式；

（2）已知點(diǎn)M為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△ACM是以AC為一腰的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）將△OBC沿x軸向右平移m個(gè)單位長(zhǎng)度（0＜m＜3）得到另一個(gè)三角形△EFG，將△EFG與△BCD重疊部分的面積記為S，用含m的代數(shù)式表示S．

Answer 1

（1）；（2）M的坐標(biāo)為，，；（3）．

【解析】

試題分析：（1）拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（-1，0），對(duì)稱軸為直線，得到拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B（3，0），把A、B、C的坐標(biāo)代入拋物線，即可得到拋物線的解析式；

（2）①當(dāng)AC=AM時(shí)C、M關(guān)于x軸對(duì)稱，得到M；

②當(dāng)AC=CM時(shí)，AC=，以C為圓心，AC為半徑作圓與y軸有兩個(gè)交點(diǎn)，為M或M；

（3）分別求出直線BC、BD的解析式，分兩段計(jì)算重疊的面積：①，②．

試題解析：（1）由題意可知，拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B（3，0），

則，，解得，故拋物線的解析式為：；

（2）①當(dāng)AC=AM時(shí)C、M關(guān)于x軸對(duì)稱，得到M；

②當(dāng)AC=CM時(shí)，AC=，以C為圓心，AC為半徑作圓與y軸有兩個(gè)交點(diǎn)，為M或M；

所以，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，，；

（3）記平移后的三角形為△EFG．設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，則：，解得：，則直線BC的解析式為，△OBC沿x軸向右平移m個(gè)單位長(zhǎng)度（0＜m＜3）得到△EFG，易得直線FG的解析式為．設(shè)直線BD的解析式為y=k′x+b′，則：，解得，

則直線BD的解析式為，連結(jié)CG，直線CG交BD于H，則H（，-3）．

在△OBC沿x軸向右平移的過(guò)程中，

①當(dāng)時(shí)，如圖1所示．

設(shè)EG交BC于點(diǎn)P，GF交BD于點(diǎn)Q，則CG=BF=m，BE=PE=3﹣m，聯(lián)立，解得，即點(diǎn)Q（3﹣m，-2m），

==

②當(dāng)時(shí)，如圖2所示．

設(shè)EG交BC于點(diǎn)P，交BD于點(diǎn)N，則OE=m，BE=PE=3﹣m，又因?yàn)橹本�BD的解析式為，所以當(dāng)x=m時(shí)，得y=2m﹣6，所以點(diǎn)N（m，2m-6）．

===，

綜上所述，．

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．