Question

19．如圖，AC為⊙O的直徑，D為CA延長線上一點，AB=AD=A0，點B在⊙O上，
（1）判斷：BD與⊙O的位置關(guān)系？并寫出證明過程；
（2）若點E是半圓AC的中點，弦BE=（2$\sqrt{3}$+2）cm．求：⊙O的半徑長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件證得△ABO為等邊三角形，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可求得∠ABD=∠ADB=30°，則可求得∠OBD=90°，BD是⊙O的切線；
（2）連接AE，CE，過A作AM⊥BE于M，過C作CN⊥BE于N，由已知條件得到△ABO是等邊三角形，得到∠AOB=∠BAO=60°，求出∠ACB=30°，設(shè)⊙O的半徑為R，解直角三角形得到AB=R，BC=$\sqrt{3}R$，根據(jù)圓周角定理得到∠ABE=∠CBE=∠CAE=∠ACE=45°，求得AE=CE=$\sqrt{2}$R，解直角三角形得到AM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$R，CN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=$\frac{\sqrt{6}}{2}$R，根據(jù)S_{四邊形ABCE}=$\frac{1}{2}$BE•AM+$\frac{1}{2}$BE•CN=$\frac{1}{2}$AB•BC+$\frac{1}{2}$AE•CE列方程即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：∵AB=AO，BO=AO，
∴AB=AO=BO，
∴△ABO為等邊三角形，
∴∠BAO=∠ABO=60°，
∵AB=AD，
∴∠D=∠ABD，
又∵∠D+∠ABD=∠BAO=60°，
∴∠ABD=30°，
∴∠OBD=∠ABD+∠ABO=90°，即BD⊥BO，
∴BD是⊙O的切線；

（2）解：連接AE，CE，過A作AM⊥BE于M，過C作CN⊥BE于N，
∵AB=AD=A0=BO，
∴△ABO是等邊三角形，
∴∠AOB=∠BAO=60°，
∴∠ACB=30°，
設(shè)⊙O的半徑為R，
∴AB=R，BC=$\sqrt{3}R$，
∵E是半圓AC的中點，
∴∠ABE=∠CBE=∠CAE=∠ACE=45°，
∴AE=CE=$\sqrt{2}$R，
∵△ABM與△BCN是等腰直角三角形，
∴AM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$R，CN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=$\frac{\sqrt{6}}{2}$R，
∴S_{四邊形ABCE}=$\frac{1}{2}$BE•AM+$\frac{1}{2}$BE•CN=$\frac{1}{2}$AB•BC+$\frac{1}{2}$AE•CE=$\frac{1}{2}$（2$\sqrt{3}$+2）（$\frac{\sqrt{2}}{2}$R+$\frac{\sqrt{2}}{2}$$•\sqrt{3}$R）=$\frac{1}{2}$R$•\sqrt{3}$R+$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$R$•\sqrt{2}$R，
解得：R=2$\sqrt{2}$，
∴⊙O的半徑長是2$\sqrt{2}$．

點評 本題綜合考查了圓的切線的性質(zhì)、圓的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積，熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．