Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，OA⊥OB，AB⊥x軸于點C，點A（，1）在反比例函數y=的圖像上．

（1）k= ；

（2）在x軸的負半軸上存在一點 P ，使得S△AOP=S△AOB，求點P的坐標；

（3）若將△BOA繞點B按逆時針方向旋轉60°得到△BDE，直接寫出點E的坐標，并判斷點E是否在該反比例函數的圖像上，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）;（2）點P的坐標為（-2，0）. （3）點E在該反比例函數的圖象上，理由見解析.

【解析】

（1）把A的坐標代入反比例函數的表達式，即可求出答案；

（2）根據C點的坐標求出OC、AC的長，可證得△OAC∽△BOC，由相似三角形對應邊成比例列出比例式求出BC的長，然后根據三角形面積公式求出△OAB的面積，根據已知S△AOP=S△AOB，求出OP長，即可求出答案；

（3）先解△OAB，得出∠ABO=30°，再根據旋轉的性質求出E點坐標為（-，-1），即可求解．

解：（1）把A（，1）代入反比例函數y=得：k=1×=；

（2）∵A（，1），AB⊥x軸于點C，∴OC=，AC=1.

∵OA⊥OB，AB⊥x軸，

∴△OAC∽△BOC，

∴OC2=AC·BC，

可得BC=3，

∴B（，-3），AB=4，

∴S△AOB＝××4=2，∴S△AOP=S△AOB=，

設點P的坐標是為（m，0），∴×|m|×1=，∴|m|=2.

∵P是x軸負半軸上的點，

∴m=-2，

即點P的坐標為（-2，0）.

（3）點E在該反比例函數的圖象上，理由如下：

∵OA⊥OB，OA=2，OB=2，AB=4，

∴sin∠ABO===，

∴∠ABO=30°.

∵將△BOA繞點B按逆時針方向旋轉60°得到△BDE，

∴∠OBD=60°，BO=BD=2，OA=DE=2，∠BOA=∠BDE=90°，∠ABD=30°+60°=90°.

又BD-OC=，BC-DE=1，

∴E（-，-1），

而(-1)×(-)=.

∴點E在該反比例函數的圖象上.