Question

14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=$\frac{1}{3}{x^2}$+bx+c的圖象與y軸交于點(diǎn)A，與雙曲線y=$\frac{8}{x}$有一個(gè)公共點(diǎn)B，它的橫坐標(biāo)為4，過點(diǎn)B作直線l∥x軸，與該二次函數(shù)圖象交于另一個(gè)點(diǎn)C，直線AC在y軸上的截距是-6．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）求直線AC的表達(dá)式；
（3）平面內(nèi)是否存在點(diǎn)D，使A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是等腰梯形？如果存在，求出點(diǎn)D坐標(biāo)；如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）先求得點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后依據(jù)待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式；
（2）先求得拋物線的對稱軸為x=-1，依據(jù)點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于x=-1對稱，可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后依據(jù)待定系數(shù)法可求得直線AC的解析式；
（3）①當(dāng)CD∥AB時(shí)，AC=BC，故點(diǎn)D不存在；②如圖1所示：當(dāng)AD∥BC時(shí)，AB＜AC，過點(diǎn)A作BC平行線l，以C為圓心，AB為半徑作弧，交l與點(diǎn)D₁點(diǎn)，依據(jù)點(diǎn)A與D₁關(guān)于x=-1對稱可求得點(diǎn)D₁的坐標(biāo)；③如圖2所示：BD∥AC時(shí)，過點(diǎn)C作CM⊥x軸，過點(diǎn)A作AM⊥y軸，過點(diǎn)B作BF⊥AC，D₂E⊥AC．先依據(jù)AAS證明△AMC≌△CBF，從而可求得AF=CE=4，于是得到D₂B=2，然后再證明BHD₂∽△AMC，從而可求得BH=$\frac{6}{5}$，HD₂=$\frac{8}{5}$，于是可求得點(diǎn)D₂的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵將x=4代入y=$\frac{8}{x}$得：y=2，
∴B（4，2）．
∵點(diǎn)A在y軸上，且直線AC在y軸上的截距是-6，
∴A（0，-6）．
∵將B（4，2）、A（0，-6）代入拋物線的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{c=-6}\\{\frac{16}{3}+4b+c=2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{2}{3}}\\{c=-6}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{3}{x}^{2}$+$\frac{2}{3}x$-6．
（2）∵拋物線的對稱軸為x=-$\frac{2a}=-\frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{3}×2}$=-1．
∴點(diǎn)B關(guān)于x=-1的對稱點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-6，2）．
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b．
∵將點(diǎn)A（0，-6）、C（-6，2）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-6}\\{-6k+b=2}\end{array}\right.$，解得：k=-$\frac{4}{3}$，b=-6，
∴直線AC的解析式為y=$-\frac{4}{3}x$-6．
（3）①∵B（4，2）C（-6，2），
∴BC=10．
∵A（0，-6）、C（-6，2），
∴AC=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10．
∴AC=BC．
∴當(dāng)CD∥AB時(shí)，不存在點(diǎn)D使得四邊形A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是等腰梯形．
②如圖1所示：

當(dāng)AD∥BC時(shí)，AB＜AC，過點(diǎn)A作BC平行線l，以C為圓心，AB為半徑作弧，交l與點(diǎn)D₁點(diǎn)，A與D₁關(guān)于x=-1對稱，
∴D₁（-2，-6）．
③如圖2所示：BD∥AC時(shí)，過點(diǎn)C作CM⊥x軸，過點(diǎn)A作AM⊥y軸，過點(diǎn)B作BF⊥AC，D₂E⊥AC．

∵CB∥AM，
∴∠BCA=∠CAM．
在△AMC和△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BCA=∠CAM}\\{∠AMC=∠BFC=90°}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△AMC≌△CBF．
∴CF=AM=6．
∴AF=4．
∵梯形ABD₂C是等腰梯形，
∴CE=AF=4．
∴D₂B=EF=2．
∵BD₂∥AC，
∴∠D₂BH=∠BCA．
∵∠BCA=∠CAM，
∴∠D₂BH=∠CAM．
又∵∠M=∠D₂HB，
∴BHD₂∽△AMC．
∴$\frac{{D}_{2}H}{HB}=\frac{4}{3}$．
∵BD₂=2，
∴BH=$\frac{6}{5}$，HD₂=$\frac{8}{5}$，
∴D₂（$\frac{14}{5}$，$\frac{18}{5}$）．
綜上所述，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-2，-6）或D₂（$\frac{14}{5}$，$\frac{18}{5}$）．

點(diǎn)評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式、全等三角形的性質(zhì)和判定、相似三角形的性質(zhì)和判定、等腰梯形的性質(zhì)，求得BD₂=2是解題的關(guān)鍵．