Question

如圖1，已知∠ABC=90°，△ABE是等邊三角形，點P為射線BC上任意一點（點P與點B不重合），連接AP，將線段AP繞點A逆時針旋轉60°得到線段AQ，連接QE并延長交射線BC于點F．
（1）如圖2，當BP=BA時，∠EBF=______°，猜想∠QFC=______°；
（2）如圖1，當點P為射線BC上任意一點時，猜想∠QFC的度數(shù)，并加以證明；
（3）已知線段AB=2，設BP=x，點Q到射線BC的距離為y，求y關于x的函數(shù)關系式．

Answer 1

證明：（1）∵∠ABC=90°，∠BAE=60°，
∴∠EBF=30°；
則猜想：∠QFC=60°；

（2）∠QFC=60°．
∵∠BAP=∠BAE+∠EAP=60°+∠EAP，∠EAQ=∠QAP+∠EAP=60°+∠EAP，
∴∠BAP=∠EAQ
在△ABP和△AEQ中，
，
∴△ABP≌△AEQ （SAS）　
∴∠AEQ=∠ABP=90°
∴∠BEF=180°-∠AEQ-∠AEB=180°-90°-60°=30°，
∴∠QFC=∠EBF+∠BEF=30°+30°=60；

（3）在圖1中，過點F作FG⊥BE于點G．
∵△ABE是等邊三角形，
∴BE=AB=2．
由（1）得∠EBF=30°．
又∵∠QFC=60°
∴∠EBF=∠BEF，
∴BF=EF，
∵FG⊥BE
∴BG==，
∴BF==2．
∴EF=2．
∵在Rt△ABP和Rt△AEQ中，

∴△ABP≌△AEQ．
設QE=BP=x，
則QF=QE+EF=x+2．
過點Q作QH⊥BC，垂足為H．
在Rt△QHF中，y=QH=sin60°×QF=（x+2）．（x＞0）
即y關于x的函數(shù)關系式是：y=x+．
分析：（1）∠EBF與∠ABE互余，而∠ABE=60°，即可求得∠EBF的度數(shù)；利用觀察法，或量角器測量的方法即可求得∠QFC的度數(shù)；
（2）根據(jù)三角形的外角等于不相鄰的兩內角的和，證明∠BAP=∠EAQ，進而得到△ABP≌△AEQ，證得∠AEQ=∠ABP=90°，則∠BEF=180°-∠AEQ-∠AEB=180°-90°-60°=30°，∠QFC=∠EBF+∠BEF；
（3）過點F作FG⊥BE于點G，過點Q作QH⊥BC，根據(jù)△ABP≌△AEQ得到：設QE=BP=x，則QF=QE+EF=x+2．點Q到射線BC的距離y=QH=sin60°×QF=（x+2），即可求得函數(shù)關系式．
點評：本題把圖形的旋轉，與三角形的全等，三角函數(shù)，以及函數(shù)相結合，是一個比較難的題目．