Question

7．如圖，矩形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，AB=6，BC=8．動點P從點B出發(fā)沿BC方向，以每秒1個單位長度的速度向點C勻速運動，同時動點Q從點C出發(fā)沿CD方向，以每秒1個單位長度的速度向點D勻速運動，當其中一個點到達終點后即都停止運動．過點Q作QM∥AC交AD于點M，連接PM，PQ．設點P的運動時間為t秒，△PQM的面積為s．
（1）求當t為何值時，PQ∥BD；
（2）求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并確定自變量t的取值范圍；
（3）在運動過程中是否存在某一時刻t，使△PQM的面積與矩形ABCD面積的比等于9：32？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)得到比例式，計算即可；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出AM，根據(jù)矩形的面積公式、梯形的面積公式以及三角形的面積公式計算即可；
（3）根據(jù)題意列出一元二次方程，解方程即可．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD=BC=8，CD=AB=6
∵PQ∥BD，
∴∠DBC=∠QPC，∠CDB=∠CQP，
∴△CBD∽△CPQ
∴$\frac{CP}{CB}$=$\frac{CQ}{CD}$，即$\frac{8-t}{8}$=$\frac{t}{6}$，
解得，t=$\frac{24}{7}$，
∴當t=$\frac{24}{7}$時，PQ∥BD；
（2）∵MQ∥AC，
∴△ACD∽△MQD，
∴$\frac{AD}{DM}$=$\frac{DC}{CQ}$，即$\frac{8}{8-AM}$=$\frac{6}{6-t}$，
解得，AM=$\frac{4}{3}$t，
由題意，S=矩形ABCD的面積-梯形ABPM的面積-△DMQ的面積-△PCQ的面積
=6×8-$\frac{1}{2}×$（t+$\frac{4}{3}$t）×6-$\frac{1}{2}×$（8-t）×t-$\frac{1}{2}×$（8-$\frac{4}{3}$t）（6-t）
=-$\frac{1}{6}$t²-3t+24，
自變量t的取值范圍是0≤t≤6；
（3）由題意得，-$\frac{1}{6}$t²-3t+24=$\frac{9}{32}$×48，
整理得，t²+18t-63=0，
解得，t₁=3，t₂=-21（不合題意，舍去），
∴當t=3秒時，△PQM的面積與矩形ABCD面積的比等于9：32．

點評 本題考查的是矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)解析式的確定，靈活運用相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理、理解矩形的四個角都是直角是解題的關(guān)鍵．