Question

13．在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=30°，CD、BE交于點(diǎn)O，連接OA
（1）如圖1，求證：△ABE≌△ACD；
（2）如圖1，求∠AOE的大�。�
（3）當(dāng)繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至如圖2所示位置時(shí)，若∠BAC=∠DAE=α，∠AOE=90°+$\frac{1}{2}α$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)性質(zhì)，可得∠BAE=∠CAD，由SAS證明△ABE≌△ACD即可；
（2）由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得出∠ABC=∠ACB=75°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠ABO=∠ACO．∠AEO=∠ADO，證出A、B、C、O四點(diǎn)共圓，A、D、E、O四點(diǎn)共圓，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和圓周角定理得出∠AOD=∠ABC=75°，∠DOE=∠DAE=30°，得出∠AOE=∠AOD+∠DOE=105°即可；
（3）同（2），即可得出結(jié)果．

解答 （1）證明：∵∠BAC=∠DAE=30°，
∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE，
即∠BAE=∠CAD．
在△ABE和△ACD中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}&{\;}\\{∠BAE=∠CAD}&{\;}\\{AD=AE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACD（SAS）；
（2）解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=$\frac{1}{2}$（180°--30°）=75°，
∵△ABE≌△ACD，
∴∠ABO=∠ACO．∠AEO=∠ADO，
∴A、B、C、O四點(diǎn)共圓，A、D、E、O四點(diǎn)共圓，
∴∠AOD=∠ABC=75°，∠DOE=∠DAE=30°，
∴∠AOE=∠AOD+∠DOE=75°+30°=105°；
（3）解：同（2）得：∠ABC=∠ACB=$\frac{1}{2}$（180°--α）=90°-$\frac{1}{2}$α，
∴∠AOD=∠ABC=90°-$\frac{1}{2}$α，∠DOE=∠DAE=α，
∴∠AOE=∠AOD+∠DOE=90°-$\frac{1}{2}$α+α=90°+$\frac{1}{2}$α；
故答案為：90°+$\frac{1}{2}α$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、四點(diǎn)共圓、圓周角定理、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)；熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，證明三角形全等和四點(diǎn)共圓是解決問題的關(guān)鍵．