Question

(2005　遼寧十一市)如圖所示，Rt△OAC是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的直角三角形紙片，點(diǎn)O與原點(diǎn)重合，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，，∠CAO=30°．將Rt△OAC折疊，使OC邊落在AC邊上，點(diǎn)O與點(diǎn)D重合，折痕為CE．

(1)求折痕CE所在直線的解析式；

(2)求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(3)設(shè)點(diǎn)M為直線CE上的一點(diǎn)，過點(diǎn)M作AC的平行線，交y軸于點(diǎn)N，是否存在這樣的點(diǎn)M，使得以M、N、D、C為頂點(diǎn)的四形邊是平行四邊形？若存在，請求出符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：略
解析：

解　(1)由題知：∠CAO=30°，∴． ∴在Rt△COE中，． ∴點(diǎn)E的坐標(biāo)是(1，0)． 設(shè)直線CE的解析式為：y=kx＋b 把點(diǎn)代入得 ∴ ∴直線CE的解析式為 (2)在Rt△AOC中， ∵， ∴． 過點(diǎn)D作DF⊥OA于點(diǎn)F． 在Rt△AFD中， ， ∴． ∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是． (3)存在兩個(gè)符合條件的M點(diǎn)． 第一種情況：此點(diǎn)在第四象限內(nèi)，設(shè)為． 延長DF交直線CE于，連接，則軸． ∵，∴設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為． 又∵點(diǎn)在直線CE上， ∴將點(diǎn)的坐標(biāo)代入中， 得， 即． ∴點(diǎn)的坐標(biāo)是． 又∵， ∴．又∵， ∴四邊形是平行四邊形． 又∵點(diǎn)O在y軸上， ∴點(diǎn)是符合條件的點(diǎn)． 第二種情況：此點(diǎn)在第二象限內(nèi)，設(shè)為 過點(diǎn)D作DN∥CE交y軸與N，過N點(diǎn)作交直線CE于點(diǎn)， 則四邊形為平行四邊形． ∴． ∴， ∴． ∴∵， ∴． 作軸于點(diǎn)H． ∵， ∴， ∴． 在中， ， ． ∴． ∴點(diǎn)坐標(biāo)為． ∴點(diǎn)是符合條件的點(diǎn)． ∴綜上所述，符合條件的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為： ．