Question

17．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（-4，0），點(diǎn)B（2，0），若點(diǎn)C在一次函數(shù)y=-$\frac{1}{2}x+2$的圖象上，且△ABC為直角三角形，則滿足條件的點(diǎn)C有（　�。�

• A． 2個(gè)
• B． 3個(gè)
• C． 4個(gè)
• D． 5個(gè)

Answer 1

分析 根據(jù)已知可求得直線與兩軸的交點(diǎn)，①分別過點(diǎn)A、點(diǎn)B作垂線，可得出符合題意的點(diǎn)C，②利用圓周角定理，可得出符合條件的兩個(gè)點(diǎn)C．

解答 解：由題意知，直線y=-$\frac{1}{2}$x+2與x軸的交點(diǎn)為（4，0），與y軸的交點(diǎn)為（0，2），如圖：
當(dāng)∠A=90°時(shí)，
過點(diǎn)A作垂線與直線的交點(diǎn)C₁（-4，4）；
當(dāng)∠B=90°時(shí)，過點(diǎn)B作垂線與直線的交點(diǎn)C₂（2，1）；
當(dāng)∠C=90°時(shí)，
過AB中點(diǎn)E（-1，0），作垂線與直線的交點(diǎn)為F（-1，2.5），則EF=2.5＜3，
所以以3為半徑，以點(diǎn)E為圓心的圓與直線必有兩個(gè)交點(diǎn)，
設(shè)C₃（x，-$\frac{1}{2}$x+2），
則AC²+BC²=AB²，即（x+4）2+2（-$\frac{1}{2}$x+2）2+（x-2）2=36，解得x=±$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
當(dāng)x=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$時(shí)，y=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$+10；
當(dāng)x=-$\frac{4\sqrt{5}}{5}$時(shí)，y=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$+10．
故C₃（$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$+10），C₄（-$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$+10）．
綜上所述，點(diǎn)C的坐標(biāo)為：C₁（-4，4），C₂（2，1），C₃（$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$+10），C₄（-$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$+10）．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，熟知一次函數(shù)圖象上各點(diǎn)的坐標(biāo)一定適合此函數(shù)的解析式是解答此題的關(guān)鍵．