Question

如圖，已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=8，M是邊AB的中點(diǎn)，E、G分別是邊AC、BC上的一點(diǎn)，∠EMG=45°，AC與MG的延長線相交于點(diǎn)F．
（1）在不添加字母和線段的情況下寫出圖中一定相似的三角形，并證明其中的一對；
（2）連接結(jié)EG，當(dāng)AE=6時，求EG的長．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）證明∠A=∠B=45°，∠AEM=∠BMG，得到△AME∽△BGM．
（2）由△AME∽△BGM，列出比例式，結(jié)合∠A=∠EMG=45°，得到△AME∽△MGE，這是解決該題的關(guān)鍵結(jié)論；根據(jù)余弦定理求出ME的長度，列出關(guān)于線段GE的比例式即可解決問題．

解答：解：（1）△AME∽△BGM．
證明如下：
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°；而∠EMG=45°，
∴∠AEM+∠AME=∠AME+∠BMG=135°，
∴∠AEM=∠BMG，
∴△AME∽△BGM．
（2）∵∠ACB=90°，AC=BC=8，
∴由勾股定理得：AB²=64+64，
∴AB=8

2

；
∴AM=BM=4

2

；
∵△AME∽△BGM，
∴ME：MG=AE：BM，而AM=BM，
∴ME：MG=AE：AM，
∴ME：AE=MG：AM，而∠A=∠EMG=45°，
∴△AME∽△MGE，
∴ME：GE=AE：ME，
GE=

ME2

AE

；
由余弦定理得：ME2=(4

2

)2+62-2×4

2

×6•cos45°=20，
∴ME=2

5

，GE=

10

3

．

點(diǎn)評：該題主要考查了相似三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是深入觀察圖形結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，找出圖形中隱含的相等或相似關(guān)系；大膽猜測推理，科學(xué)解答論證．