Question

如圖，直線交直線于軸上一點，交軸上另一點，交軸于另一點,二次函數（＞0）的圖像過點、兩點，點是線段上由向移動的動點，線段（1＜＜8）。

⑴為何值時，為圓心為半徑的圓與相切；

⑵設拋物線對稱軸與直線相交于點，請在軸上求一點，使的周長最�。�

⑶設點是上由向移動的一動點，且，若的面積為，求與的函數關系式，當為等腰三角形時，請直接寫出的值。

 

Answer 1

⑴3⑵（⑶，①PQ=PC   則t=，②CP=CQ  則 t=4，

③QC=QP   則 t=

 

解析:解：⑴∵B、C在x軸上且拋物線經過B、C兩點

   ∴令   且＞0    

   ∴     即B（-2,0）、C（8,0）

在Rt，  OA=6，OC=8， ∴AC=10

過點P作PE⊥AC，垂足為E，則易證∽

∴     ∴     ∴

當P為圓心，OP 為半徑的圓與相切時，即PE=OP

∴      則                      (3分)

⑵拋物線的對稱軸為

直線經過A(0,6)、C（8,0），  易求的解析式為    ∴M（3，）

為求得的周長最小，作點A 的關于x軸的對稱點

則經過、M兩點的直線與x軸的交點即為點N

∴直線M的解析式為      ∴N（      （6分）

⑶與的函數關系式為

若為等腰三角形，分三種情況：

①PQ=PC   則t=

②CP=CQ   則 t=4

③QC=QP   則 t=                                   （9分）

⑴由已知求得B、C兩點的坐標，過點P作PE⊥AC，垂足為E，證得∽，得出PE的長，求出的值

⑵通過的解析式，求得M點的坐標，為求得的周長最小，作點A 的關于x軸的對稱點，則經過、M兩點的直線與x軸的交點即為點N

⑶根據三角形的面積公式求得，若為等腰三角形，分三種情況討論