Question

19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將x軸所在的直線繞著原點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)α角度后，這條直線與函數(shù)y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$的圖象分別交于點B、D，已知點A（-m，0），C（m，0）且m≠0．
（1）直接判斷并填寫：不論α取何值，四邊形ABCD的形狀一定是平行四邊形．
（2）若當(dāng)點B為（p，$\sqrt{3}$）時，四邊形ABCD是矩形，試求p，α和m的值；
（3）試探究：四邊形ABCD是否可能是菱形？若可能，直接寫出點B的坐標(biāo)；若不可能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由于反比例函數(shù)的圖象是一個中心對稱圖形，點B、D是正比例函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的交點，所以點B與點D關(guān)于點O成中心對稱，則OB=OD，又OA=OC，根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，可得出四邊形ABCD的形狀；
（2）把點B（p，$\sqrt{3}$）代入y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$即可求出p的值；過B作BE⊥x軸于E，在Rt△BOE中，根據(jù)正切函數(shù)的定義求出tanα的值，得出α的度數(shù)；要求m的值，首先解Rt△BOE，得出OB的長度，然后根據(jù)進(jìn)行的對角線相等得出OA=OB=OC=OD，從而求出m的值
（3）假設(shè)四邊形ABCD為菱形，根據(jù)菱形的對角線垂直且互相平分，可知AC⊥BD，且AC與BD互相平分，又AC在x軸上，所以BD應(yīng)在y軸上，這與“點B、D分別在第一、三象限”矛盾，所以四邊形ABCD不可能為菱形．

解答 解：（1）∵反比例函數(shù)的圖象是一個中心對稱圖形，點B、D是正比例函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的交點，
所以點B與點D關(guān)于點O成中心對稱，則OB=OD，又OA=OC，根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，
∴四邊形ABCD是平行四邊形．
故答案為：平行四邊形；

（2）∵點B（p，$\sqrt{3}$）在y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$的圖象上，
∴$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{p}$，
∴p=1，
過B作BE⊥x軸于E，則
在Rt△BOE中，α=60°，
∴OB=2．
又∵點B、D是正比例函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的交點，
∴點B、D關(guān)于原點O成中心對稱，
∴OB=OD=2．
∵四邊形ABCD為矩形，且A（-m，0），C（m，0）
∴OA=OB=OC=OD=2，
∴m=2；

（3）四邊形ABCD不能是菱形．理由如下：
若四邊形ABCD為菱形，則對角線AC⊥BD，且AC與BD互相平分，
因為點A、C的坐標(biāo)分別為（-m，0）、（m，0），
所以點A、C關(guān)于原點O對稱，且AC在x軸上，
所以BD應(yīng)在y軸上，
這與“點B、D分別在第一、三象限”矛盾，
所以四邊形ABCD不可能為菱形．

點評 本題主要考查了四邊形綜合題，其中涉及到了平行四邊形的判定，矩形、菱形的性質(zhì)及三角函數(shù)的定義等知識，綜合性較強，難度適中．