Question

【題目】如圖1，在中，點(diǎn)在邊上（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），以點(diǎn)為圓心，為半徑作⊙交邊于另一點(diǎn)，，交邊于點(diǎn)．

（1）求證：；

（2）若，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式并寫(xiě)出定義域；

（3）延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，若與相似，求線段的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）或．

【解析】

（1）首先得出∠BDE+∠PDA=90°，進(jìn)而得出∠B+∠A=90°，利用PD=PA得出∠PDA=∠A進(jìn)而得出答案；

（2）由AD=y得到：BD=BA-AD=5-y．過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BD垂足為點(diǎn)H，構(gòu)造Rt△EHB，所以，通過(guò)解Rt△ABC知：，易得答案；

（3）需要分類討論：①當(dāng)∠DBP=∠ADF時(shí)即；②當(dāng)∠DBP=∠F時(shí)，即，借助于方程求得AD的長(zhǎng)度即可．

解：（1）證明：∵ED⊥DP，

∴∠EDP=90°，

∴∠BDE+∠PDA=90°，

又∵∠ACB=90°，

∴∠B+∠PAD=90°，

∵PD=PA，

∴∠PDA=∠PAD，

∴∠BDE=∠B，

∴BE=DE；

（2）過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BD垂足為點(diǎn)H，

由（1）知BE=DE，

∵AD=y，BD=BA-AD=5-y，

∴，

在Rt△EHB中，∠EHB=90°，

∴，

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，

∴AB=5，

∴，

，

∴．

（3）如圖，

設(shè)PD=a，則，，

在等腰△PDA中，，

易得：，

則在Rt△PDF中，∠PDF=90°，，

∴，，

①當(dāng)∠DBP=∠ADF時(shí)，即；

解得a=3，此時(shí)，

②當(dāng)∠DBP=∠F時(shí)，即，

解得，此時(shí)，

綜上所述，若△BDP與△DAF相似，線段AD的長(zhǎng)為或．