Question

已知多項(xiàng)式x⁴+4x³+3x²+px+q被x²+2x+1除時(shí)，所得的余式為-x，求p，q．

Answer 1

考點(diǎn)：整式的除法

專題：

分析：首先由多項(xiàng)式x⁴+4x³+3x²+px+q除以x²+2x+1所得的余式為-x，根據(jù)余式定理可設(shè)x⁴+4x³+3x²+px+q-（-x）=（x²+2x+1）（x²+ax+b），然后分別整理等式的左右兩邊，再根據(jù)多項(xiàng)式相等時(shí)對(duì)應(yīng)系數(shù)相等，即可得方程組

a+2=4 2a+b+1=3 a+2b=p+1 b=q

，解方程組求得p，q的值．

解答：解：∵多項(xiàng)式x⁴+4x³+3x²+px+q除以x²+2x+1所得的余式為-x，
∴可設(shè)x⁴+4x³+3x²+px+q-（-x）=（x²+2x+1）（x²+ax+b），
整理可得：x⁴+4x³+3x²+（p+1）x+q=x⁴+（a+2）x³+（2a+b+1）x²+（a+2b）x+b，
∴

a+2=4 2a+b+1=3 a+2b=p+1 b=q

，解得

a=2 b=-2 p=-3 q=-2

．
故p=-3，q=-2．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了余式定理，多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則，以及方程組的解法．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意設(shè)x⁴+4x³+3x²+px+q-（-x）=（x²+2x+1）（x²+ax+b），然后根據(jù)多項(xiàng)式相等的性質(zhì)求解．