Question

3．在△ABC的外接圓⊙O中，△ABC的外角平分線CD交⊙O于點D，F(xiàn)為$\widehat{AD}$上-
點，且$\widehat{AF}$=$\widehat{BC}$ 連接DF，并延長DF交BA的延長線于點E．
（1）判斷DB與DA的數量關系，并說明理由；
（2）求證：△BCD≌△AFD；
（3）若∠ACM=120°，⊙O的半徑為5，DC=6，求DE的長．

Answer 1

分析 （1）由CD是△ABC的外角平分線，可得∠MCD=∠ACD，又由∠MCD+∠BCD=180°，∠BCD+∠BAD=180°，可得∠MCD=∠BAD，繼而證得∠ABD=∠BAD，即可得DB=DA；
（2）由DB=DA，可得$\widehat{DB}$=$\widehat{DA}$，即可得$\widehat{AF}$=$\widehat{BC}$，則可證得CD=FD，BC=AF，然后由SSS判定△BCD≌△AFD；
（3）首先連接DO并延長，交AB于點N，連接OB，由∠ACM=120°，易證得△ABD是等邊三角形，并可求得邊長，易證得△ACD∽△EBD，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得DE的長．

解答 解：（1）DB=DA．
理由：∵CD是△ABC的外角平分線，
∴∠MCD=∠ACD，
∵∠MCD+∠BCD=180°，∠BCD+∠BAD=180°，
∴∠MCD=∠BAD，
∴∠ACD=∠BAD，
∵∠ACD=∠ABD，
∴∠ABD=∠BAD，
∴DB=DA；

（2）證明：∵DB=DA，
∴$\widehat{DB}$=$\widehat{DA}$，
∵$\widehat{AF}$=$\widehat{BC}$，
∴AF=BC，$\widehat{CD}$=$\widehat{FD}$，
∴CD=FD，
在△BCD和△AFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AF}\\{CD=FD}\\{DB=DA}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△AFD（SSS）；

（3）連接DO并延長，交AB于點N，連接OB，
∵DB=DA，
∴$\widehat{DB}$=$\widehat{DA}$，
∴DN⊥AB，
∵∠ACM=120°，
∴∠ABD=∠ACD=60°，
∵DB=DA，
∴△ABD是等邊三角形，
∴∠OBA=30°，
∴ON=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{1}{2}$×5=2.5，
∴DN=ON+OD=7.5，
∴BD=$\frac{DN}{sin60°}$=5$\sqrt{3}$，
∴AD=BD=5$\sqrt{3}$，
∵$\widehat{BC}$=$\widehat{AF}$，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{BF}$，
∴∠ADC=∠BDF，
∵∠ABD=∠ACD，
∴△ACD∽△EBD，
∴$\frac{CD}{BD}=\frac{AD}{DE}$，
∴$\frac{6}{5\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}}{DE}$，
∴DE=12.5．

點評 此題屬于圓的綜合題，考查了圓周角定理、弧與弦的關系、等邊三角形的判定與性質以及相似三角形的判定與性質．注意準確作出輔助線是解此題的關鍵．