Question

13．在平面直角坐標系中，點A（a，0），C（b，3），且a，b滿足$\sqrt{a+2}$+（b-2）²=0，過點C作CB⊥x軸于點B．
（1）求點C的坐標；
（2）若點D在y軸上，當S_△ABC=S_△ACD時，求點D的坐標；
（3）若點P以每秒2個單位長度的速度從點A出發(fā)，在射線AC上運動，點P的運動時間為t秒，AC=5，在點P運動的同時，點Q從點A出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿x軸正方向運動，連接OP，CQ，是否存在一刻，使S_△CAQ=2S_△COP．若存在，請求t值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用非負數(shù)的性質(zhì)求出a、b的值，得到點C的坐標；
（2）根據(jù)三角形中位線定理求出OQ的長，根據(jù)三角形的面積公式計算即可；
（3）分當P在線段AC上和當P在線段AC的延長線上兩種情況，根據(jù)三角形的面積公式列出方程，解方程即可．

解答 解：（1）由題意得，a+2=0，b-2=0，
解得，a=-2，b=2，
則點C的坐標為（2，3）；
（2）如圖1，AC交y軸于Q，
∵OA=OB，OQ∥BC，
∴Q（0，1），即OQ=1，
設(shè)D點的坐標為（0，t），
∵S_△ACD=S_△ADQ+S_△CDQ=S_△ABC，
∴$\frac{1}{2}$•|t-1|•2+$\frac{1}{2}$•|t-1|•2=4，
解得t=3或t=-1，
∴D點坐標為（0，3），（0，-1）；
（3）如圖2，作OH⊥AC于H，
∵△AOH∽△ACB，
∴$\frac{OA}{OC}$=$\frac{OH}{BC}$，即$\frac{OH}{3}$=$\frac{2}{5}$，
解得，OH=$\frac{6}{5}$，
由題意得，AQ=t，AP=2t，則PC=5-2t，
由S_△CAQ=2S_△COP得，$\frac{1}{2}$×t×3=2×$\frac{1}{2}$×（5-2t）×$\frac{6}{5}$，
解得，t=$\frac{20}{13}$；
如圖3，由題意得，CP=2t-5，AQ=t，
由S_△CAQ=2S_△COP得，$\frac{1}{2}$×t×3=2×$\frac{1}{2}$×（2t-5）×$\frac{6}{5}$，
解得，t=$\frac{20}{3}$，
∴當t=$\frac{20}{13}$或$\frac{20}{3}$時，S_△CAQ=2S_△COP．

點評 本題考查了三角形的面積計算、非負數(shù)的性質(zhì)以及坐標與圖形性質(zhì)，利用點的坐標計算相應(yīng)線段的長和判斷線段與坐標軸的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵．注意平行線的性質(zhì)和三角形面積公式的應(yīng)用．