Question

12．如圖①，在Rt△ABO中，∠A=90°，AB=2，AO=4，⊙O的半徑為1，點(diǎn)C為BO的中點(diǎn)，點(diǎn)H為⊙O上一點(diǎn)，CH=2
（1）求證；CH是⊙O的切線；
（2）如圖②，過C作CD⊥CH交AO于D點(diǎn)，求tan∠ODC的值．

Answer 1

分析 （1）接OH，如圖①，要證CH是⊙O的切線，只需證∠OHC=90°，只需運(yùn)用勾股定理的逆定理就可解決問題；
（2）連接OH，設(shè)CH與OA交于點(diǎn)E，如圖②，易證OH∥DC，則有∠ODC=∠HOE，要求tan∠ODC，只需求tan∠HOE，易證△CHO∽△OAB，則有∠HCO=∠AOB，即可得到EC=EO．設(shè)OE=x，則EC=x，EH=2-x，在Rt△EHO中運(yùn)用勾股定理就可求出x，從而可求出EH，tan∠HOE．

解答 解：（1）連接OH，如圖①，

∵∠A=90°，AB=2，AO=4，
∴OB=$\sqrt{A{B}^{2}+O{A}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
∵點(diǎn)C是OB的中點(diǎn)，
∴OC=$\frac{1}{2}$OB=$\sqrt{5}$．
∵CH=2，OH=1，
∴CH²+OH²=5=OC²，
∴∠OHC=90°，
∴CH與⊙O相切；

（2）連接OH，設(shè)CH與OA交于點(diǎn)E，如圖②，

∵$\frac{OH}{AB}$=$\frac{CH}{OA}$=$\frac{OC}{OB}$=$\frac{1}{2}$，
∴△CHO∽△OAB，
∴∠HCO=∠AOB，
∴EC=EO．
設(shè)OE=x，則EC=x，EH=2-x．
在Rt△EHO中，
（2-x）²+1²=x²，
解得x=$\frac{5}{4}$，
∴EH=2-$\frac{5}{4}$=$\frac{3}{4}$，
∴tan∠HOE=$\frac{EH}{OH}$=$\frac{3}{4}$．
∵CD⊥CH，
∴∠DCH=∠OHC=90°，
∴OH∥DC，
∴∠ODC=∠HOE，
∴tan∠ODC=tan∠HOE=$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了勾股定理及其逆定理、圓的切線的性質(zhì)、等腰三角形的判定、三角函數(shù)、平行線的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，證到EC=EO是解決第（2）小題的關(guān)鍵．