Question

20．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，已知AD平分∠BAC交⊙O于點D，連結(jié)CD，延長AC，BD，相交于點F．現(xiàn)給出下列結(jié)論：
①若AD=5，BD=2，則DE=$\frac{2}{5}$；
②∠ACB=∠DCF；
③△FDA∽△FCB；
④若直徑AG⊥BD交BD于點H，AC=FC=4，DF=3，則cosF=$\frac{41}{48}$；
則正確的結(jié)論是（　　）

• A． ①③
• B． ②③④
• C． ③④
• D． ①②④

Answer 1

分析 ①只需證明△BDE∽△ADB，運用對應(yīng)線段成比例求解即可；
②連接CD，假設(shè)∠ACB=∠DCF，推出與題意不符即可判斷；
③由公共角和同弧所對的圓周角相等即可判斷；
④先證明△FCD∽△FBA，求出BD的長度，根據(jù)垂徑定理求出DH，結(jié)合三角函數(shù)即可求解．

解答 解：①如圖1，

∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵∠CAD=∠CBD，
∴∠BAD=∠CBD，
∵∠BDE=∠BDE，
∴△BDE∽△ADB，
∴$\frac{BD}{AD}=\frac{DE}{BD}$，
由AD=5，BD=2，可求DE=$\frac{4}{5}$，
①不正確；
②如圖2，

連接CD，
∠FCD+∠ACD=180°，∠ACD+∠ABD=180°，
∴∠FCD=∠ABD，
若∠ACB=∠DCF，因為∠ACB=∠ADB，
則有：∠ABD=∠ADB，與已知不符，
故②不正確；
③如圖3，

∵∠F=∠F，∠FAD=∠FBC，
∴△FDA∽△FCB；
故③正確；
④如圖4，

連接CD，由②知：∠FCD=∠ABD，
又∵∠F=∠F，
∴△FCD∽△FBA，
∴$\frac{FC}{FB}=\frac{FD}{FA}$，
由AC=FC=4，DF=3，可求：AF=8，F(xiàn)B=$\frac{32}{3}$，
∴BD=BF-DF=$\frac{23}{3}$，
∵直徑AG⊥BD，
∴DH=$\frac{23}{6}$，
∴FH=$\frac{41}{6}$，
∴cosF=$\frac{FH}{AF}$=$\frac{41}{48}$，
故④正確；
故選：C．

點評 此題主要考查圓的綜合問題，熟悉圓的相關(guān)性質(zhì)，會證明三角形相似并解決相關(guān)問題，能靈活運用垂徑定理和三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．