Question

13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-x+3與x軸，y軸分別交于點B、C；拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過B、C兩點，并與x軸交于另一點A．
（1）求該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若點D是該拋物線對稱軸上的一個動點，求△DAC周長的最小值；
（3）設(shè)P（x，y）是（1）所得拋物線上的一個動點，過點P作直線l⊥x軸于點M，交直線BC于點N．
①若點P在第一象限內(nèi)，試問：線段PN的長度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此時x的值；若不存在，請說明理由；
②求以BC為底邊的等腰△BPC的面積．

Answer 1

分析 （1）利用一次函數(shù)與坐標(biāo)軸坐標(biāo)求法，得出B、C兩點的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式．
（2）如圖1中，連接CB交對稱軸于P，此時△PAC的周長最小．
（3）①設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，-x²+2x+3），則N的坐標(biāo)為（x，-x+3），構(gòu)建二次函數(shù)，然后由二次函數(shù)的最值問題，求得答案；
②求出BC的垂直平分線的解析式，用方程組求出點P的坐標(biāo)即可解決問題．

解答 解：（1）由于直線y=-x+3經(jīng)過B、C兩點，
令y=0得x=3；令x=0，得y=3，
∴B（3，0），C（0，3），
∵點B、C在拋物線y=-x²+bx+c上，于是得
$\left\{\begin{array}{l}{-9+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得b=2，c=3，
∴所求函數(shù)關(guān)系式為y=-x²+2x+3；

（2）如圖1中，連接CB交對稱軸于P，此時△PAC的周長最�。�

∵A（-1，0），C（0，3），B（3，0），
∴AC=$\sqrt{10}$，BC=3$\sqrt{2}$，
∴△PAC的周長的最小值=AC+PA+PC=AC+PB+PC=AC+BC=$\sqrt{10}$+3$\sqrt{2}$．

（3）①如圖2中，

∵點P（x，y）在拋物線y=-x²+2x+3上，
且PN⊥x軸，
∴設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，-x²+2x+3），
同理可設(shè)點N的坐標(biāo)為（x，-x+3），
又點P在第一象限，
∴PN=PM-NM，
=（-x²+2x+3）-（-x+3），
=-x²+3x，
=-（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∴當(dāng)x=$\frac{3}{2}$時，
線段PN的長度的最大值為 $\frac{9}{4}$．
②解：如圖3中，

由題意知，點P在線段BC的垂直平分線上，
又由①知，OB=OC，
∴BC的中垂線同時也是∠BOC的平分線，
∴設(shè)點P的坐標(biāo)為（a，a），
又點P在拋物線y=-x²+2x+3上，于是有a=-a²+2a+3，
∴a²-a-3=0，
解得a1=$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$，a2=$\frac{1-\sqrt{13}}{2}$，
∴點P的坐標(biāo)為：（ $\frac{1+\sqrt{13}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$）或（ $\frac{1-\sqrt{13}}{2}$，$\frac{1-\sqrt{13}}{2}$），
若點P的坐標(biāo)為（ $\frac{1+\sqrt{13}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$），此時點P在第一象限，
在Rt△OMP和Rt△BOC中，MP=OM=$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$，
OB=OC=3，
S_△BPC=S_{四邊形BOCP}-S_△BOC=2S_△BOP-S_△BOC=2×$\frac{1}{2}$•BO•PM-$\frac{1}{2}$BO•CO，
=2×$\frac{1}{2}$×3×$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$-$\frac{9}{2}$，
=$\frac{3\sqrt{3}-6}{2}$，
若點P的坐標(biāo)為（ $\frac{1-\sqrt{13}}{2}$，$\frac{1-\sqrt{13}}{2}$），此時點P在第三象限，
則S_△BPC=S_△BOP+S_△COP+S_△BOC=$\frac{1}{2}$×3×|$\frac{1-\sqrt{13}}{2}$|×2+$\frac{1}{2}$×3×3=$\frac{3\sqrt{13}+6}{2}$．
綜上所述△BPC的面積為$\frac{3\sqrt{13}-6}{2}$或$\frac{3\sqrt{13}+6}{2}$．

點評 此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，線段垂直平分線的性質(zhì)，二次函數(shù)最值問題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用對稱解決最小值問題，學(xué)會構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問題，屬于中考壓軸題．