Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與x軸，y軸分別交于B，C兩點(diǎn)，拋物線經(jīng)過(guò)B，C兩點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)A，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（0＜t＜5）秒．

（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（2）以O(shè)C為直徑的⊙O′與BC交于點(diǎn)M，當(dāng)t為何值時(shí)，PM與⊙O′相切？請(qǐng)說(shuō)明理由．

（3）在點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)的同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)沿CA以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間和點(diǎn)P相同．

①記△BPQ的面積為S，當(dāng)t為何值時(shí)，S最大，最大值是多少？

②是否存在△NCQ為直角三角形的情形？若存在，求出相應(yīng)的t值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解答：

解：（1）在y=﹣x+9 中，令x=0，得y=9；令y=0，得x=12． ∴C（0，9），B（12，0）． 又拋物線經(jīng)過(guò)B，C兩點(diǎn)，∴，解得 ∴y=﹣x2+x+9． 于是令y=0，得﹣x2+x+9=0， 解得x1=﹣3，x2=12．∴A（﹣3，0）． （2）當(dāng)t=3秒時(shí)，PM與⊙O′相切．連接OM． ∵OC是⊙O′的直徑，∴∠OMC=90°．∴∠OMB=90°． ∵O′O是⊙O′的半徑，O′O⊥OP，∴OP是⊙O′的切線． 而PM是⊙O′的切線，∴PM=PO．∴∠POM=∠PMO． 又∵∠POM+∠OBM=90°，∠PMO+∠PMB=90°，∴∠PMB=∠OBM．∴PM=PB． ∴PO=PB=OB=6．∴PA=OA+PO=3+6=9．此時(shí)t=3（秒）． ∴當(dāng)t=3秒，PM與⊙O′相切． （3）①過(guò)點(diǎn)Q作QD⊥OB于點(diǎn)D． ∵OC⊥OB，∴QD∥OC．∴△BQD∽△BCO．∴=． 又∵OC=9，BQ=3t，BC=15，∴=，解得QD=t． ∴S△BPQ=BP•QD=．即S=． S=．故當(dāng)時(shí)，S最大，最大值為． ②存在△NCQ為直角三角形的情形． ∵BC=BA=15，∴∠BCA=∠BAC，即∠NCM=∠CAO． ∴△NCQ欲為直角三角形，∠NCQ≠90°，只存在∠NQC=90°和∠QNC=90°兩種情況． 當(dāng)∠NQC=90°時(shí)，∠NQC=∠COA=90°，∠NCQ=∠CAO， ∴△NCQ∽△CAO．∴=．∴=，解得t=． 當(dāng)∠QNC=90°時(shí)，∠QNC=∠COA=90°，∠QCN=∠CAO， ∴△QCN∽△CAO．∴=．∴=，解得． 綜上，存在△NCQ為直角三角形的情形，t的值為和．