Question

如圖，△ABC被與其三邊分別平行的直線分割成七個區(qū)域，如果其中的三個平行四邊形與中間的三角形的面積都是1，則△ABC的面積為

 

．

Answer 1

考點：面積及等積變換,解一元二次方程-公式法,全等三角形的判定與性質(zhì),平行四邊形的判定與性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：計算題

分析：連接GH，如圖．由FI∥AC，S_?AEKF=S_?DCIJ=1可得AE=DC，從而有AD=EC，進而可證到△ADG≌△ECH，則有AG=EH，S_△ADG=S_△ECH，從而得到四邊形AEHG是平行四邊形，且S_{四邊形FKLG}=S_{四邊形IJLH}．同理可得S_{四邊形FKLG}=S_{四邊形EKJD}．設(shè)S_{四邊形FKLG}=S，則S_{四邊形IJLH}=S_{四邊形EKJD}=S．易證△BGH∽△GAD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得

S△BGH

S△GAD

=（

BG

GA

）²．由EH∥AB可得

S?BGLH

S?GAEH

=

BG

GA

，從而有

S△BGH

S△GAD

=（

S?BGLH

S?GAEH

）²．，即可得到關(guān)于S的方程，解這個方程就可解決問題．

解答：解：連接GH，如圖．
∵FI∥AC，S_?AEKF=S_?DCIJ=1，
∴AE=DC，∴AD=EC．
∵EH∥AB，DG∥BC，
∴∠A=∠HEC，∠ADG=∠ECH．
在△ADG和△ECH中，

∠A=∠HEC AD=EC ∠ADG=∠ECH

，
∴△ADG≌△ECH（ASA），
∴AG=EH，S_△ADG=S_△ECH，
∴四邊形AEHG是平行四邊形，S_{四邊形AELG}=S_{四邊形CDLH}，
∴GH∥AE，1+S_{四邊形FKLG}=1+S_{四邊形IJLH}，
∴S_{四邊形FKLG}=S_{四邊形IJLH}．
同理可得：S_{四邊形FKLG}=S_{四邊形EKJD}．
設(shè)S_{四邊形FKLG}=S，則S_{四邊形IJLH}=S_{四邊形EKJD}=S．
∵GH∥AE，GD∥BC，
∴∠BGH=∠A，∠B=∠AGD，
∴△BGH∽△GAD．
∴

S△BGH

S△GAD

=（

BG

GA

）²．
∵EH∥AB，∴

S?BGLH

S?GAEH

=

BG

GA

，
∴

S△BGH

S△GAD

=（

S?BGLH

S?GAEH

）²．
∴

1 2

2S+2

=（

1

S+1+ 1 2

）²．
整理得：4S²-4S-7=0．
解得：S₁=

1

2

-

2

（舍去），S₂=

1

2

+

2

．
∴S_△ABC=3S+4=

3

2

+3

2

+4=

11+6 2

2

．
故答案為：

11+6 2

2

．

點評：本題考查了面積及等積變換、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、解一元二次方程、兩平行線間的距離處處相等、兩平行四邊形高相等時面積比等于對應(yīng)底的比等知識，綜合性強，有一定的難度，而證到S_{四邊形FKLG}=S_{四邊形EKJD}=S_{四邊形IJLH}并利用

BG

GA

建立等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．