Question

【題目】如圖，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，∠ABC＝30°，動點 P 從點 B 出發(fā)，在 BA 邊上以每秒 2cm 的速度向點 A 勻速運動，同時動點 Q 從點 C 出發(fā)，在 CB 邊上以每秒cm 的速度向點 B 勻速運動，運動時間為 t 秒(0≤t≤6)，連接 PQ，以 PQ 為直徑作⊙O．

(1)當 t＝1 時，求△BPQ 的面積；

(2)設(shè)⊙O 的面積為 y，求 y 與 t 的函數(shù)解析式；

(3)若⊙O 與 Rt△ABC 的一條邊相切，求 t 的值．

Answer 1

【答案】(1)；(2)y＝t2-18πt+27π；(3)t 的值為 3 或或 0 或．

【解析】

(1)連接DP,根據(jù)△BPM~△BAC,可得PD=t,BQ=(6-t),然后得到

=BQ·PD即可得出結(jié)論;

(2)先表示出DP,BD,進而利用勾股定理求出PQ的平方,最后用圓的面積公式即可得出結(jié)論;

(3)分O與BC相切、O與AB相切, O與AC相切時,三種情況分類討論即可得出結(jié)論.

解：

(1)如圖 1，

在 Rt△ABC 中，∠ABC＝30°，AC＝6，

∴AB＝12，BC＝6，

由運動知，BP＝2t，CQ＝t，

∴BQ＝BC﹣CQ＝(6﹣t)，連接 DP，

∵PQ 是⊙O 的直徑，

∴∠PDQ＝90°

∵∠C＝90°，

∴PD∥AC．

∴△BPD∽△BAC，

∴＝

∴＝，

∴DP＝t，BD＝ t，

＝ BQPD＝ ×(6﹣t)t＝﹣ t+3 t

∴當 t＝1 時，＝﹣ +3＝ ；

(2)DQ＝|BQ﹣BD|＝| (6﹣t)﹣ t|＝2|3﹣t|，PQ＝PD+DQ＝t+[2

(3﹣t)]＝13t﹣72t+108，

∴y＝π×()＝ t﹣18πt+27π，

(3)由運動知，BP＝2t，CQ＝t，

∴BQ＝BC﹣CQ＝(6﹣t)，當⊙O 與 BC 相切時，PQ⊥BC，

∴△BPQ∽△BAC，

∴

∴

∴＝3，

當⊙O 與 AB 相切時，PQ⊥AB，

∴△BPQ∽△BCA

∴

∴ ，

∴＝ ，

當⊙O 與 AC 相切時，

如圖 2 ，

過點 O 作 OH⊥AC 于點 H，交 PD 于點 N，

∴OH∥BC，

∵點 O 是 PQ 的中點，

∴ON＝ QD，

由(1)知，BQ＝(6﹣t)，BD＝t，

∴QD＝BD﹣BQ＝2(t﹣3)，DC＝BC﹣BD＝6﹣t＝(6﹣t)

∴OH＝ON+NH＝ QD+DC＝ ×2 (t﹣3)+ (6﹣t)＝3 ，

∴PQ＝2OH＝6，

由(2)知，PQ＝13t﹣72t+108

∴13t﹣72t+108＝36×3解得 ＝0，＝，

綜上所述，若⊙O 與 Rt△ABC 的一條邊相切，t 的值為 3 或或 0 或．