Question

已知以點A（-1，-2）為頂點的拋物線與x軸交于B、C兩點（點B在對稱軸的左側(cè)），BC=4．
（1）求以拋物線為圖象的二次函數(shù)解析式；
（2）假設(shè)直線AO（O為坐標(biāo)原點）與拋物線的另一個交點為D．求證：x軸是∠ABD的對稱軸．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點

專題：

分析：（1）可設(shè)頂點式，由條件可知對稱軸為x=-1，設(shè)對稱軸交x軸于點E，且BC=4，可知BE=CE=2，可求得B，C兩點的坐標(biāo)，代入可求得解析式；
（2）可先求得直線AO的方程，聯(lián)立拋物線方程可求得D點坐標(biāo)，過D作DF⊥x軸，交x軸于點F，可知DF=BF，知∠DBC=45°，且AE=BE，則∠ABC=45°，可證得結(jié)論．

解答：（1）解：因為頂點坐標(biāo)為A（-1，2），所以其對稱軸為x=-1，設(shè)對稱軸交x軸于點E，如圖，則BE=CE，且BC=4，
所以CE=2，可知C點坐標(biāo)為（1，0），
設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）²-2，
把C點坐標(biāo)代入可得：4a-2=0，解得a=

1

2

，
所以拋物線解析式為：y=

1

2

（x+1）²-2，
即y=

1

2

x²+x-

3

2

；
（2）證明：設(shè)直線AO的解析式為y=kx，代入A點坐標(biāo)可得-2=-k，解得k=2，
所以直線AO的解析式為y=2x，
代入y=

1

2

x²+x-

3

2

可得2x=

1

2

x²+x-

3

2

，
解得x=-或3，所以D點坐標(biāo)為（3，6），
如圖，過D作DF⊥x軸，交x軸于點F，則DF=6，而OF=3，且BO=3，所以BF=DF，所以∠DBF=45°，
在Rt△ABE中，BE=2，AE=2，所以∠ABE=45°，
所以∠DBF=∠ABF，
所以x軸是∠ABD的對稱軸．

點評：本題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，已知拋物線的頂點時可設(shè)成頂點式，在證明x軸是∠ABD的對稱軸是利用坐標(biāo)得出線段的長再得出角相等是解題的關(guān)鍵．