Question

9．閱讀材料：如果x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0的兩根，那么有x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．這是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，我們利用它可以用來解題，例x₁，x₂是方程x²+6x-3=0的兩根，求x₁²+x₂²的值．解法可以這樣：
∵x₁+x₂=-6，x₁x₂=-3，則x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（-6）²-2×（-3）=42．
請(qǐng)你根據(jù)以上解法解答下題：
已知x₁，x₂是方程x²+x-1=0的兩根，求：
（1）$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$的值；
（2）（x₁-x₂）²的值．
（3）試求x₂²-x₁²的值．

Answer 1

分析 （1）由根與系數(shù)的關(guān)系可得x₁+x₂=-1，x₁x₂=-1，將其代入到$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$即可得；
（2）將x₁+x₂=-1，x₁x₂=-1代入到（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂即可得；
（3）根據(jù)x₂²-x₁²=-（x₁²-x₂²），結(jié)合（2）中結(jié)果即可得．

解答 解：（1）∵x₁，x₂是方程x²+x-1=0的兩根，
∴x₁+x₂=-1，x₁x₂=-1，
則$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{-1}{-1}$=1；

（2）（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=1+4=5；

（3）x₂²-x₁²=-（x₁²-x₂²）=-5．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握韋達(dá)定理是解題的關(guān)鍵．