Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑作⊙O交AB于點D點，連接CD．
（1）求證：∠A=∠BCD；
（2）若M為線段BC上一點，試問當點M在什么位置時，直線DM與⊙O相切？并說明理由．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：幾何綜合題

分析：（1）根據(jù)圓周角定理可得∠ADC=90°，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得∠A+∠DCA=90°，再由∠DCB+∠ACD=90°，可得∠DCB=∠A；
（2）當MC=MD時，直線DM與⊙O相切，連接DO，根據(jù)等等邊對等角可得∠1=∠2，∠4=∠3，再根據(jù)∠ACB=90°可得∠1+∠3=90°，進而證得直線DM與⊙O相切．

解答：（1）證明：∵AC為直徑，
∴∠ADC=90°，
∴∠A+∠DCA=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠DCB+∠ACD=90°，
∴∠DCB=∠A；

（2）當MC=MD（或點M是BC的中點）時，直線DM與⊙O相切；
解：連接DO，
∵DO=CO，
∴∠1=∠2，
∵DM=CM，
∴∠4=∠3，
∵∠2+∠4=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴直線DM與⊙O相切，
故當MC=MD（或點M是BC的中點）時，直線DM與⊙O相切．

點評：此題主要考查了切線的判定，以及圓周角定理，關(guān)鍵是掌握切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．