Question

5．（1）求函數(shù)y=|x-1|+|x-3|的最小值及對應(yīng)自變量x的取值；
（2）求函數(shù)y=|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值及對應(yīng)自變量x的取值；
（3）求函數(shù)y=|x-1|+|x-2|+…+|x-n|的最小值及對應(yīng)自變量x的取值；
（4）求函數(shù)y=|x-1|+|2x-1|+…+|8x-1|+|9x-1|的最小值及對應(yīng)自變量x的取值．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)軸的特點(diǎn)和函數(shù)y=|x-1|+|x-3|的最小值的幾何意義即可；
（2）借助（1）的結(jié)論即可得出x=2時(shí)，求出y的最小值即可；
（3）借助（1）（2）結(jié)論分n為偶數(shù)和奇數(shù)分類討論求出即可，
（4）借助（3）的結(jié)論，類比出結(jié)論，即可求出．

解答 解：（1）函數(shù)y=|x-1|+|x-3|的最小值的幾何意義是數(shù)軸上x到1和3兩點(diǎn)距離之和的最小值，
∵兩點(diǎn)之間線段最短，
∴當(dāng)1＜x＜3時(shí)，y_min=|3-1|=2，
（2）∵y=|x-1|+|x-2|+|x-3|=（|x-1|+|x-3|）+|x-2|，
當(dāng)x=2時(shí)，|x-2|有最小值，
∴結(jié)合（1）的結(jié)論得出，當(dāng)x=2時(shí)，y_min=2+0=2，
（3）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，y=|x-1|+|x-2|+…+|x-n|=（|x-1|+|x-n|）+（|x-2|+|x-（n-1）|）+…+（|x-$\frac{n}{2}$|+|x-（$\frac{n}{2}$+1）|），
由（1）知，當(dāng)$\frac{n}{2}$＜x＜$\frac{n}{2}$+1時(shí)，
|x-1|+|x-n|有最小值n-1，
|x-2|+|x-（n-1）|有最小值（n-1）-2=n-3，
…
|x-$\frac{n}{2}$|+|x-（$\frac{n}{2}$+1）|有最小值1，
∴當(dāng)$\frac{n}{2}$＜x＜$\frac{n}{2}$+1時(shí)，
y_min=1+3+5+…+（n-3）+（n-1）=$\frac{{n}^{2}}{4}$，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，y=|x-1|+|x-2|+…+|x-n|=（|x-1|+|x-n|）+（|x-2|+|x-（n-1）|）+…+（|x-$\frac{n-1}{2}$|+|x-（$\frac{n+1}{2}$+1）|）+|x-$\frac{n+1}{2}$|，
由（1）知，當(dāng)x=$\frac{n+1}{2}$時(shí)，
|x-1|+|x-n|有最小值n-1，
|x-2|+|x-（n-1）|有最小值（n-1）-2=n-3，
…
|x-$\frac{n}{2}$|+|x-（$\frac{n}{2}$+1）|有最小值1，
|x-$\frac{n+1}{2}$|的最小值為0，
∴當(dāng)x=$\frac{n+1}{2}$時(shí)，ymin=0+2+4+…+（n-3）+（n-1）=$\frac{{n}^{2}-1}{4}$，
（4）類似（3）的做法可知，y=|x-a₁|+|x-a₂|+…+|x-a_n|，
如果n為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)${a}_{\frac{n}{2}}＜x＜{a}_{\frac{n}{2}+1}$時(shí)，y有最小值，
如果n為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)x=${a}_{\frac{n+1}{2}}$時(shí)，y有最小值；
∵y=|x-1|+|2x-1|+…+|8x-1|+|9x-1|
=$\stackrel{9個(gè)}{|x-\frac{1}{9}|+…+|x-\frac{1}{9}|}$+$\stackrel{8個(gè)}{|x-\frac{1}{8}|+…+|x-\frac{1}{8}|}$+…+$\stackrel{2個(gè)}{|x-\frac{1}{2}|+|x-\frac{1}{2}|}$+|x-1|
∴共有9+8+7+…+2+1=45項(xiàng)，為奇數(shù)．
∴當(dāng)x=$\frac{1}{7}$時(shí)，ymin=|$\frac{1}{7}$-1|+|$\frac{2}{7}$-1|+…+|$\frac{8}{7}$-1|+|$\frac{9}{7}$-1|=$\frac{24}{7}$

點(diǎn)評 此題是絕對值題目，主要考查了絕對值的幾何意義和兩個(gè)絕對值的和的幾何意義，分類討論思想，解本題的關(guān)鍵是找出規(guī)律，運(yùn)用規(guī)律．是一道難度比較大競賽題．