Question

如圖，半徑為2的⊙C與x軸的正半軸交于點A，與y軸的正半軸交于點B，點C的坐標為（1，0）若拋物線過A.B兩點.

（1）求拋物線的解析式；

（2）在拋物線上是否存在點P，使得∠PBO=∠POB？ 若存在求出P的坐標，不存在說明理由；

（3）若點M是拋物線（在第一象限內的部分）上一點，△MAB面積為S，求S的最大（小）值.

 

Answer 1

【答案】

（1）y=﹣x²+x+；（2）P（1±，）；（3）最大值為．

【解析】

試題分析：（1）連接OB，根據(jù)勾股定理即可求得點B的坐標，再結合A（3，0），利用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式；

（2）作線段OB的垂直平分線l，與拋物線的交點即為點P，由∠PBO=∠POB，可知符合條件的點在線段OB的垂直平分線上，OB的垂直平分線與拋物線有兩個交點，因此所求的P點有兩個，注意不要漏解；

（3）作MH⊥x軸于點H，構造梯形MBOH與三角形MHA，求得△MAB面積關于M點橫坐標的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的極值求得△MAB面積的最大值．

（1）如圖，連接OB．

∵BC=2，OC=1

∴OB==

∴B（0，）

將A（3，0），B（0，）代入二次函數(shù)的表達式

得，解得，

∴y=﹣x²+x+；

（2）如圖，作線段OB的垂直平分線l，與拋物線的交點即為點P，

∵B（0，），O（0，0），

∴直線l的表達式為y=．代入拋物線的表達式，

得﹣x²+x+=；

解得x=1±，

∴P（1±，）；

（3）如圖，作MH⊥x軸于點H．

設M（x_m，y_m），

則S_△MAB=S_梯形MBOH+S_△MHA﹣S_△OAB=（MH+OB）•OH+HA•MH﹣OA•OB

=（y_m+）x_m+（3﹣x_m）y_m﹣×3×

=x_m+y_m﹣                     

∵y_m=﹣x_m²+x_m+，

∴S_△MAB=x_m+（﹣x_m²+x_m+）﹣

=x_m²+x_m

=（x_m﹣）²+   

∴當x_m=時，S_△MAB取得最大值，最大值為．

考點：本題考查的是二次函數(shù)的性質、圓的性質、垂直平分線，勾股定理

點評：解答本題的關鍵是注意第（2）問中注意垂直平分線與拋物線的交點有兩個，不要漏解；第（3）問中，重點關注圖形面積的求法以及求極值的方法．