Question

如圖，菱形鐵片ABCD的對角線AC，DB相交于點E，sin∠DAC=

3

5

，AE、DE的長是方程x²-140x+k=0的兩根．
（1）求AD的長；
（2）如果M，N是AC上的兩個動點，分別以M，N為圓心作圓，使⊙M與邊從AB、AD相切，⊙N與邊BC，CD相切，且⊙M與⊙N相外切，設(shè)AM=t，⊙M與⊙N面積的和為S，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）某工廠要利用這種菱形鐵片（單位：mm）加工一批直徑為48mm，60mm，90mm的圓形零件（菱形鐵片上只能加工同一直徑的零件，不計加工過程中的損耗），問加工哪種零件能最充分地利用這種鐵片并說明理由．

Answer 1

分析：（1）由圖可知：AD是Rt△ADE中斜邊長，則求AD根據(jù)sin∠DAC=

3

5

，可以求出DE的長，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求得DE的長度；
（2）分別過點M作MF⊥AD于F，過點N作NG⊥CD于G，在Rt△AMF中，根據(jù)sin∠DAC，可以用t來表示FM，再根據(jù)∠DCA=∠DAC，則sin∠DAC=sin∠DA，則可以用NG來表示NC．又知⊙M與⊙N相外切，則MN=MF+NG．根據(jù)AC=AM+NC+MN，即可求得NG的值，最后用t來表示S；
（3）如果將這塊科加工成一個最大的圓形零件，設(shè)它的半徑為R₁，由圖形的軸對稱性知，圓心必在對角線交點E處，則可以求得R₁的值，則加工成直徑為90mm的圓形零件只能加工1個，而加工成直徑為48mm圓形零件可有4個；如若將這塊料加工成兩個最大圓形零件，并設(shè)這時圓半徑為R₂，那么由對稱性知，這兩個圓必是△ADB和△DBC的內(nèi)切圓，則R₂=

AC•BD

2(AD+AB+BD)

=30（mm），所以可以加工直徑為60mm的圓形零件2個；所以加工直徑為48mm的圓形零件，最能充分利用這塊材料．

解答：解：（1）∵ABCD是菱形
∴AC、DB垂直平分
∵sin∠DAC=

3

5

即

DE

AD

=

3

5

設(shè)DE=3a，則AD=5a
Rt△ADE中
∵DE=3a
∴AD=5a
∴AE=

(5a)2-(3a)2

=4a
又∵AE，DE是方程x²-140x+k=0的兩根，
∴根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得：4a+3a=140
解得a=20
∴AD=5a=100

（2）過點M作MF⊥AD于F，過點N作NG⊥CD于G
在Rt△AMF中，
sin∠DAC=

3

5

=

MF

AM

∴FM=

3

5

t
∵CD=AD，∠DCA=∠DAC
在Rt△CGN中，
sin∠DCA=

NG

CN

=

3

5

∴NC=

5

3

NG
又AC=2AE=2×4×20=160
∵⊙M與⊙N相外切
∴MN=MF+NG=

3

5

t+NG
∴t+

3

5

t+NG+

5

3

NG=160
解得NG=60-

3

5

t
根據(jù)題意，
S=π（

3

5

t）²+π（60-

3

5

t）²
即S=

18

25

πt²-72πt+3600π

（3）設(shè)它的半徑為R₁，由圖形的軸對稱性知，圓心必在對角線交點E處，則4S_△AED=S_菱形ABCD
∴4AD•R₁=AC•BD
∴R₁=

AC•BD

4AD

=48（mm）
對照條件，則加工成直徑為90mm的圓形零件只能加工1個，而加工成直徑為48mm圓形零件可有4個．
如若將這塊料加工成兩個最大圓形零件，并設(shè)這時圓半徑為R₂，那么由對稱性知，這兩個圓必是△ADB和△DBC的內(nèi)切圓，則2（ AD•R₂+AB•R₂+•BD•R₂）=AC•BD，
∴R₂=

AC•BD

2(AD+AB+BD)

=30（mm）．
這時正好可加工直徑為60mm的圓形零件2個．
如若加工三個最大圓形零件，這時用料不合理，顯然不可�。�
若加工成4個最大圓形零件，答案前已得出．
如果加工個數(shù)更多的話，直徑太小，已不合要求．
所以加工直徑為48mm的圓形零件，最能充分利用這塊材料．

點評：此題主要考查學(xué)生對菱形的性質(zhì)及解直角三角形等知識點的理解及運(yùn)用．