Question

如圖，正方形ABCO的邊長為，O為原點(diǎn)，BC交y軸于點(diǎn)D，且D為BC邊的中點(diǎn)，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過B、C且與y軸的交點(diǎn)為：
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)，并直接寫出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；
（2）求拋物線的解析式及對稱軸；
（3）探索在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△PBC為直角三角形？若存在，直接寫出所有滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）過C作CF⊥x軸于F，在Rt△OCF中，易證得∠OCF=∠COD，則它們的正切值相同，可得CF=2OF，再根據(jù)勾股定理即可求出OF、CF的長，由此可得C點(diǎn)的坐標(biāo)；同理可求出A、B的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)已經(jīng)求得的A、B、C的坐標(biāo)，可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，進(jìn)而可求出其對稱軸方程；
（3）若△PBC是直角三角形，存在三種情況：
①∠PBC=90°，則P點(diǎn)必為直線AB與拋物線對稱軸的交點(diǎn)，可先求出直線AB的解析式，聯(lián)立拋物線的對稱軸方程即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；
②∠PCB=90°，則P點(diǎn)必為直線OC與拋物線對稱軸的交點(diǎn)，方法同①；
③∠BPC=90°，可以BC為直徑作圓，那么P點(diǎn)即為圓與拋物線對稱軸的交點(diǎn)；可過D作拋物線對稱軸的垂線，設(shè)垂足為M，連接DP，根據(jù)拋物線的對稱軸即可得到DM的長，而DP是圓的半徑即BC長，在Rt△DPM中，即可用勾股定理求出PM的值，進(jìn)而可求出P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，而P點(diǎn)橫坐標(biāo)與拋物線的對稱軸的值相同，由此可得到P點(diǎn)的坐標(biāo)．
解答：解：
（1）過C作CF⊥x軸于F，由△FCO∽△DCO，D是BC中點(diǎn)，
∴CF=2OF，
設(shè)OF=x，則x²+（2x）²=5，
解得x=1，
∴C（1，2），（2分）
A（-2，1）、B（-1，3）．（2分）（各1分）

（2）由拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A、B，且與y軸交于E（0，），則有：
，
解得，
∴拋物線的解析式為y=-，（3分）（如結(jié)論不對，能求得a、b各1分）
對稱軸為直線；（1分）

（3）滿足條件的點(diǎn)P有4個(gè)：P₁（-，-）、P₂（-，）、P₃（-，）、P₄（-，）．
（4分）（實(shí)際寫出一個(gè)給1分）
（注：關(guān)于（3），若沒有具體寫出P點(diǎn)坐標(biāo)，能說出有4個(gè)點(diǎn)，給（1分）；若說明為以BC為直徑的圓與對稱軸交點(diǎn)P₃、P₄符合條件，但未求出具體P，也給1分）
點(diǎn)評：此題考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理、二次函數(shù)解析式的確定、直角三角形的判定以及函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的求法等知識(shí)．要注意的是（3）題中，由于直角三角形的直角頂點(diǎn)沒有確定，因此要分類討論，以免漏解．