Question

△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，C為他們的公共直角頂點(diǎn)，連AD，BE，F(xiàn)為線段AD的中點(diǎn)，連CF．
（1）如圖1，當(dāng)D點(diǎn)在BC上時，試探索BE與CF的關(guān)系，并證明；
（2）如圖2，把△DEC繞C點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)一個銳角，其他條件不變，問（1）中的關(guān)系是否仍然成立？如果成立請證明；如果不成立，請寫出相應(yīng)的正確的結(jié)論并加以證明．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),平行四邊形的判定與性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：創(chuàng)新題型

分析：（1）根據(jù)題干中給出的條件可以證明Rt△ADC≌Rt△BEC，可以得出CF=

1

2

BE，且CF⊥BE；
（2）延長CF至點(diǎn)G使FG=FC，連接AG、GD，可證明△AGC≌△CEB同理可得CF=

1

2

BE，且CF⊥BE．

解答：解：（1）CF=

1

2

BE，CF⊥BE．
∵△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，C為它們的公共直角頂點(diǎn)
∴∠C=90°，
在Rt△ADC和Rt△BEC中，

CD=CE AC=BC

，
∴Rt△ADC≌Rt△BEC（HL），
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC，
又∵F為線段AD的中點(diǎn)，
∴CF=DF=

1

2

AD，
∴CF=

1

2

BE，∠ADC=∠FCD，
∴∠BEC=∠FCD，
∵∠BEC+∠EBC=90°，
∴∠FCD+∠EBC=90°，
∴CF⊥BE．
（2）依然成立，即CF=

1

2

BE，CF⊥BE，

延長CF至點(diǎn)G使FG=FC，連接AG、GD，
∵F為線段AD的中點(diǎn)，
∴四邊形ACDG為平行四邊形，
∴AG∥CD，AG=CD，
∠GAC+∠ACD=180°，
∵△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，C為它們的共同直角頂點(diǎn)，
∴∠ACB=∠DCE=90°，CD=CE，AC=BC，
∴AG=CE，∠BCD+∠DAC+∠DAC+∠ACE=180°，
∴∠BCE+∠ACD=180°，
∴∠GAC=∠BCE，
在△AGC和△CEB中，

AC=BC ∠GAC=∠BCE AG=CE

，
∴△AGC≌△CEB（SAS），
∴BE=CG，∠ACG=∠CBE
∵∠ACG+∠BCG=90°，
∴∠CBE+∠BCG=90°，
∴CF=

1

2

BE，CF⊥BE．

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，考查了垂直的判定．