Question

平面上，Rt△ABC與直徑為CE的半圓O如圖1擺放，∠B=90°，AC=2CE=m，BC=n，半圓O交BC邊于點D，將半圓O繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，點D隨半圓O旋轉(zhuǎn)且∠ECD始終等于∠ACB，旋轉(zhuǎn)角記為α（0°≤α≤180°）．

（1）①當α=0°時，連接DE，則∠CDE=　　　　　　°，CD=　　　　　　；②當α=180°時， =　　　　　　．

（2）試判斷：旋轉(zhuǎn)過程中的大小有無變化？請僅就圖2的情形給出證明．

（3）若m=10，n=8，當α=∠ACB時，線段BD=　　　　　　．

（4）若m=6，n=，當半圓O旋轉(zhuǎn)至與△ABC的邊相切時，線段BD=　　　　　　．

　

Answer 1

【考點】圓的綜合題．

【分析】（1）①根據(jù)直徑的性質(zhì)，由DE∥AB得即可解決問題．②求出BD、AE即可解決問題．

（2）只要證明△ACE∽△BCD即可．

（3）求出AB、AE，利用△ACE∽△BCD即可解決問題．

（4）分類討論：①如圖5中，當α=90°時，半圓與AC相切，②如圖6中，當α=90°+∠ACB時，半圓與BC相切，分別求出BD即可．

【解答】（1）解：①如圖1中

當α=0時，連接DE，則∠CDE=90°，

∵∠CDE=∠B=90°，

∴DE∥AB，

∴=，

∵BC=n，

∴CD=．

故答案為90°，n．

②如圖2中，當α=180°時，BD=BC+CD=n，AE=AC+CE=m，

∴=．

故答案為．

（2）如圖3中，

∵∠ACB=∠DCE，

∴∠ACE=∠BCD，

∵，

∴△ACE∽△BCD，

∴．

（3）如圖4中，當α=∠ACB時，

在RT△ABC中，∵AC=10，BC=8，∴AB==6，

在RT△ABE中．∵AB=6，BE=BC﹣CE=3，

∴AE===3，

由（2）可知△ACE∽△BCD，

∴，

∴=，

∴BD=，

故答案為．

（4）∵m=6，n=，

∴CE=3，CD=2，AB==2，

①如圖5中，當α=90°時，半圓與AC相切，

在RT△DBC中，BD===2．

②如圖6中，當α=90°+∠ACB時，半圓與BC相切，

作EM⊥AB于M，

∵∠M=∠CBM=∠BCE=90°，

∴四邊形BCEM是矩形，

∴，

∴AM=5，AE==，

由（2）可知=，

∴BD=．

故答案為2或．

【點評】本題考查圓的有關(guān)知識，相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，正確畫出圖形是解決問題的關(guān)鍵，學(xué)會分類討論的思想，本題綜合性比較強，屬于中考壓軸題．