Question

如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，BC=3，CD=1，E是AD的中點(diǎn)．
（1）求證：△CDE∽△EAB；
（2）△CDE與△CEB有可能相似嗎？若相似，請(qǐng)給出證明過(guò)程；若不相似，請(qǐng)簡(jiǎn)述理由．

Answer 1

分析：（1）過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB，垂足為F，由題意可得四邊形AFCD是矩形，從而可得到CD、AF、BF，CF、AD、DE的長(zhǎng)，根據(jù)兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且相應(yīng)的夾角相等的兩個(gè)三角形相似可得到△CDE∽△EAB；
（2）利用勾股定理可求得CE、BE的長(zhǎng)，利用三組對(duì)應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相似可得到△CDE∽△CEB．

解答：（1）證明：過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB，垂足為F，如圖．
∵∠A=90°，∠CFB=90°，∴AD∥CF．
∵AB∥CD，∴四邊形AFCD是平行四邊形．
又∵∠A=90°，∴平行四邊形AFCD是矩形．（1分）
∴AF=CD=1．
∴BF=AB-AF=AB-CD=2-1=1．（1分）
在Rt△CBF中，CF=

BC2-BF2

=

32-12

=

8

=

2×4

=2

2

，
∵E是AD的中點(diǎn)，AD=CF=2

2

，∴DE=EA=

2

．（1分）
∵

DE

AB

=

2

2

，

CD

AE

=

1

2

=

2

2

，∴

DE

AB

=

CD

AE

．（2分）
又∵∠CDE=∠EAB=90°，
∴△CDE∽△EAB．（1分）

（2）解：△CDE∽△CEB．（1分）
理由如下（本題方法很多，這里僅提供一種方法，其他方法請(qǐng)參照評(píng)分）．
在Rt△CDE中，CE=

CD2+DE2

=

12+( 2 )2

=

3

，（1分）
在Rt△CBF中，BE=

AE2+AB2

=

( 2 )2+22

=

6

．（1分）
∵

CE

CD

=

3

1

，

BE

DE

=

6

2

=

3

1

，

BC

CE

=

3

3

=

3

1

，（1分）
∴

CE

CD

=

BE

DE

=

BC

CE

．（1分）
∴△CDE∽△CEB．（1分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生對(duì)相似三角形的判定方法的理解及運(yùn)用能力，難易程度適中．