Question

探究一：如圖1，已知正方形ABCD，E、F分別是BC、AB上的兩點(diǎn)，且AE⊥DF．小明經(jīng)探究，發(fā)現(xiàn)AE=DF．請你幫他寫出證明過程．

探究二：如圖2，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，E、G分別在邊BC、AD上，F(xiàn)、H分別在邊AB、CD上，且GE⊥FH．小明發(fā)現(xiàn)，GE與FH并不相等，請你幫他求出

GE

FH

的值．
探究三：小明思考這樣一個(gè)問題：如圖3，在正方形ABCD中，若E、G分別在邊BC、AD上，F(xiàn)、H分別在邊AB、CD上，且GE=FH，試問：GE⊥FH是否成立？若一定成立，請給予證明；若不一定成立，請畫圖并作出說明．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：

分析：探究一、求出∠ADF=∠BAE，∠DAF=∠ABE=90°，求出△ADF≌△DAE即可；
探究二、作GM⊥BC于M，F(xiàn)N⊥CD于N，證出△GME∽△FNH即可；
探究三、畫出圖形，即可得出答案．

解答：探究一
證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DAF=∠ABE=90°，AD=AB，
∴∠DAE+∠BAE=90°，
∵AE⊥DF，
∴∠DAE+∠ADF=90°，
∴∠ADF=∠BAE，
在△ADF和△BAE中，

∠ADF=∠BAE AD=AB ∠DAF=∠ABE

，
∴△ADF≌△DAE（ASA），
∴AE=DF；

探究二、
解：作GM⊥BC于M，F(xiàn)N⊥CD于N，如圖2，
則GM=AB=3，F(xiàn)N=AD=4，∠GME=∠FNH=∠GOF=90°，
∴∠EGM+∠GQO=90°，∠HFN+∠FQR=90°，
∵∠FQR=∠GQO，
∴∠HFN=∠EGM，
∵∠GME=∠FNH，
∴△GME∽△FNH，
∴

GE

FH

=

GM

FN

，
又∵AB=GM=3，F(xiàn)N=BC=4，
∴

GE

FH

=

3

4

；

探究三、
解：不一定成立，如圖3，當(dāng)在GE時(shí)，GE和FH垂直，當(dāng)在G′E′時(shí)，G′E′和FH就不垂直．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力．