Question

12．拋物線y=a（x+1）（x-3）交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于C，∠ABC=45°．
（1）求a值；
（2）點(diǎn)M為拋物線上第一象限內(nèi)一點(diǎn)，連接AM，當(dāng)∠CAM=45°時(shí)，求M的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，P為拋物線上第一象限內(nèi)一點(diǎn)，PR∥AM交AC、BC于R、Q，當(dāng)PQ=$\frac{5}{9}\sqrt{5}$時(shí)，求P點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)拋物線求出點(diǎn)AB坐標(biāo)，利用等腰直角三角形性質(zhì)求出C點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線即可求出a值；
（2）過(guò)點(diǎn)D做DE⊥AC交AC于點(diǎn)E，利用∠CAM=45°，表示線段EC長(zhǎng)度，構(gòu)造相似三角形，求出線段DC、DO，寫出點(diǎn)D坐標(biāo)，利用點(diǎn)A、D求出直線AM解析式，與二次函數(shù)聯(lián)立方程組即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）由PR∥AM交AC、BC于R、Q，設(shè)出直線PR解析式，分別于二次函數(shù)、直線BC聯(lián)系方程組，即可表示點(diǎn)P、Q坐標(biāo)，由PQ的長(zhǎng)度即可求出點(diǎn)P坐標(biāo)．

解答 解（1）拋物線y=a（x+1）（x-3），令y=0，
∴x=-1，或x=3，
∴A（-1，0），B（3，0），
∵∠ABC=45°，∠BOC=90°，
∴OB=OC=3，
∴C（0，3），
將點(diǎn)C（0，3）代入二次函數(shù)解析式得：
a=-1．

（2）設(shè)AM交y軸于點(diǎn)D，作DE⊥AC交AC于點(diǎn)E，如下圖：
OA=1，OC=3，
∴AC=$\sqrt{10}$，

設(shè)DE=x，
∵∠CAM=45°，
∴AE=DE=x，CE=10-x，
∵∠DEC=∠AOC，∠ECD=∠OCA，
∴△AOC∽△DEC，
∴$\frac{OA}{ED}$=$\frac{OC}{CE}$，即：$\frac{1}{x}$=$\frac{3}{\sqrt{10}-x}$，
解得：x=$\frac{\sqrt{10}}{4}$，
∴CD=$\sqrt{D{E}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{（{\frac{\sqrt{10}}{4}）}^{2}+（\sqrt{10}-\frac{\sqrt{10}}{4}）^{2}}$=$\frac{5}{2}$，
∴OD=3-$\frac{5}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∴D（0，$\frac{1}{2}$），
設(shè)直線AM解析式為y=kx+b，（k≠0），將點(diǎn)D（0，$\frac{1}{2}$）、A（-1，0）代入得：
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}=b}\\{-k+b=0}\end{array}\right.$，解得：k=$\frac{1}{2}$，b=$\frac{1}{2}$，
∴直線AM解析式為y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$．
聯(lián)立：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}}\\{y=-（x+1）（x-3）}\end{array}\right.$
解得：x=-1，或x=$\frac{5}{2}$，
將x=$\frac{5}{2}$代入拋物線解析式得：y=$\frac{7}{4}$，
∴M（$\frac{5}{2}$，$\frac{7}{4}$）．
所以M點(diǎn)橫坐標(biāo)為M（$\frac{5}{2}$，$\frac{7}{4}$）．

（3）∵PR∥AM，直線AM解析式為y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$，
∴設(shè)直線PR：y=$\frac{1}{2}$x+b，
聯(lián)立：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+b}\\{y=-x+3}\end{array}\right.$
解得：x=$\frac{6-2b}{3}$，y=$\frac{2b+3}{3}$，
∴Q（$\frac{6-2b}{3}$，$\frac{2b+3}{3}$），
聯(lián)立：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+b}\\{y=-（x+1）（x-3）}\end{array}\right.$，
解得：x=$\frac{3±\sqrt{57-16b}}{4}$，
∵點(diǎn)P在第一象限，
∴x=$\frac{3+\sqrt{57-16b}}{4}$
∴y=$\frac{3+8b+\sqrt{57-16b}}{8}$
∴P（$\frac{3+\sqrt{57-16b}}{4}$，$\frac{3+8b+\sqrt{57-16b}}{8}$），
∵PQ=$\frac{5}{9}\sqrt{5}$，點(diǎn)P在第一象限，
∴b=$\frac{77+11\sqrt{21}}{36}$，代入點(diǎn)P，
∴P（$\frac{\sqrt{21}-1}{6}$，$\frac{19-\sqrt{21}}{6}$）．
所以P點(diǎn)橫坐標(biāo)為P（$\frac{\sqrt{21}-1}{6}$，$\frac{19-\sqrt{21}}{6}$）．

點(diǎn)評(píng) 題目考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用，考查了一次函數(shù)解析式求解、二次函數(shù)解析式求解、相似三角形、兩點(diǎn)間距離等知識(shí)點(diǎn)，題目包含知識(shí)點(diǎn)較多，對(duì)學(xué)生的能力要求較高，對(duì)學(xué)生備戰(zhàn)中考?jí)狠S訓(xùn)練有很大的提高作用．