Question

【題目】如圖，平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣（x﹣3a）（x+a）交x軸分別于點(diǎn)A、B（點(diǎn)B在x軸負(fù)半軸，OA＞OB），交y軸于點(diǎn)C，OC＝4OB，連接AC，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．

（1）求a的值；

（2）點(diǎn)P、Q都以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，點(diǎn)A關(guān)于直線PQ對(duì)稱的點(diǎn)E恰好在拋物線上，求t的值；

（3）點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，直線PQ交拋物線于點(diǎn)M，當(dāng)△CMA的內(nèi)心在直線PQ上時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）a＝1；（2）；（3）點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，5）

【解析】

（1）由題意，可求得A（3a，0），B（﹣a，0），C（0，4a2），因?yàn)?/span>OC＝4OB，得4a2＝4a，即可得出a的值；

（2）作EH⊥AB于H，證明四邊形PAQE為菱形，可得tan∠EPH＝tan∠CAO＝，設(shè)EH＝4m，PH＝3m，則PA＝PE＝5m，所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3﹣8m，4m），代入拋物線y＝﹣（x﹣3）（x+1），求得m的值，即可得出t的值；

（3）連接MA，MC，作CH⊥MP于H，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則AP＝t，AQ＝，可得PM∥CO，當(dāng)△CMA的內(nèi)心在直線PQ上時(shí)，證明△CHM∽△APM，得，即，解方程求得x的值，即可得出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解：（1）∵拋物線y＝﹣（x﹣3a）（x+a）交x軸分別于點(diǎn)A、B（點(diǎn)B在x軸負(fù)半軸，OA＞OB），

當(dāng)y＝0時(shí)，x＝3a或x＝﹣a，

當(dāng)x＝0時(shí)，y＝4a2

∴A（3a，0），B（﹣a，0），C（0，4a2），

∵OC＝4OB，

∴4a2＝4a，

∴a＝1或a＝0（舍去），

∴a＝1．

（2）如圖1，作EH⊥AB于H，

∴點(diǎn)A關(guān)于直線PQ對(duì)稱的點(diǎn)E恰好在拋物線上，

∴PA＝PE，QA＝QE，

∵AP＝AQ＝t，

∴PA＝PE＝QE＝QA，

∴四邊形PAQE為菱形，

∴EP∥AC，

∴∠EPH＝∠CAO，

∵A（3，0），C（0，4），

∴tan∠EPH＝tan∠CAO＝，

設(shè)EH＝4m，PH＝3m，則PA＝PE＝5m，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3﹣8m，4m），

代入拋物線y＝﹣（x﹣3）（x+1），得4m＝×（﹣8m）×（4﹣8m），

∵m＞0，解得m＝，

∴t＝5a＝ ；

（3）如圖2，連接MA，MC，作CH⊥MP于H，

設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則AP＝t，AQ＝，

∴，

∴PM∥CO，

當(dāng)△CMA的內(nèi)心在直線PQ上時(shí)，有∠CMH＝∠AMP，

∵∠CHM＝∠APM＝90°，

∴△CHM∽△APM，

∴，

∴，

化簡(jiǎn)，得，解得x＝，

∴y＝

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，5）．