Question

12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCO為正方形，A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)P為x軸負(fù)半軸上一動點(diǎn)，以AP為直角作等腰直角三角形APD，∠APD=90°（點(diǎn)D落在第四象限）
（1）當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，0）時，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)P在移動的過程中，點(diǎn)D是否在直線y=x-2上？請說明理由；
（3）連接OB交AD于點(diǎn)G，求證：AG=DG．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，作DH⊥OC于H．只要證明△APO≌△PDH，推出PH=OA=2，DH=OP=1即可．
（2）如圖2中，作射線CD，設(shè)AD交PC于G．由△AGC∽△PGD，推出$\frac{AG}{PG}$=$\frac{CG}{GD}$，推出$\frac{AG}{CG}$=$\frac{PG}{GD}$，由∠AGP=∠CGD，推出△AGP∽△CGD，推出∠PAG=∠GCD=45°，推出∠ACD=90°，即CD⊥AC，求出直線CD的解析式即可解決問題．
（3）如圖3中，連接CG、AC、CD．由△GBA≌△GBC，推出GA=GC，只要證明GC=GD即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1中，作DH⊥OC于H．

∵四邊形AOCB是正方形，A（0，2），P（-1，0），
∴∠AOP=∠PHD=∠APD=90°，OA=2，OP=1，
∵∠APO+∠DPH+90°，∠DPH+∠PDH=90°，
∴∠APO=∠PDH，
在△APO和△PDH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOP=∠PHD}\\{∠APO=∠PDH}\\{PA=PD}\end{array}\right.$，
∴△APO≌△PDH，
∴PH=OA=2，DH=OP=1，
∴OH=1，
∴D（1，-1）．

（2）如圖2中，作射線CD，設(shè)AD交PC于G．

∵∠GCA=∠GDP=45°，∠AGC=∠PGD，
∴△AGC∽△PGD，
∴$\frac{AG}{PG}$=$\frac{CG}{GD}$，
∴$\frac{AG}{CG}$=$\frac{PG}{GD}$，∵∠AGP=∠CGD，
∴△AGP∽△CGD，
∴∠PAG=∠GCD=45°，
∴∠ACD=90°，
∴CD⊥AC，
∵直線AC的解析式為y=-x+2，
∴直線CD的解析式為y=x-2，
∴點(diǎn)D在直線CD上．

（3）如圖3中，連接CG、AC、CD．

∵四邊形OABC是正方形，
∴BA=BC，∠GBA=∠GBC，∵BG=BG，
∴△GBA≌△GBC，
∴GA=GC，
∴∠GAC=∠GCA，
∵∠ACD=90°，
∴∠GDC+∠GAC=90°，∠GCB+∠GCA=90°，
∴∠GDC=∠GCD，
∴GC=GD，
∴AG=GD．

點(diǎn)評 本題考查一次函數(shù)綜合題、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定角性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題，屬于中考壓軸題．