Question

用長(zhǎng)度一定的不銹鋼材料設(shè)計(jì)成外觀為矩形的框架(如圖①②③中的一種)．

設(shè)豎檔AB＝x米，請(qǐng)根據(jù)以上圖案回答下列問(wèn)題：(題中的不銹鋼材料總長(zhǎng)度均指各圖中所有黑線的長(zhǎng)度和，所有橫檔和豎檔分別與AD、AB平行)

(1)在圖①中，如果不銹鋼材料總長(zhǎng)度為12米，當(dāng)x為多少時(shí)，矩形框架ABCD的面積為3平方米？

(2)在圖②中，如果不銹鋼材料總長(zhǎng)度為12米，當(dāng)x為多少時(shí)，矩形框架ABCD的面積S最大？最大面積是多少？

(3)在圖③中，如果不銹鋼材料總長(zhǎng)度為a米，共有n條豎檔，那么當(dāng)x為多少時(shí)，矩形框架ABCD的面積S最大？最大面積是多少？

Answer 1

解：(1)由題意，BC的長(zhǎng)為(4－x)米．

依題意得x(4－x)＝3，即x²－4x＋3＝0.解得x₁＝1，x₂＝3.

即當(dāng)AB的長(zhǎng)度為1米或3米時(shí)，矩形框架ABCD的面積為3平方米．

(2)S＝x(4－x)＝－x²＋4x＝－(x－)²＋3.∴當(dāng)x＝時(shí)，S有最大值3.∴當(dāng)x為時(shí)，矩形框架ABCD的面積S最大，最大面積是3平方米．

(3)S＝x(a－nx)＝－x²＋x＝－(x－)²＋.

∵－＜0，∴當(dāng)x＝時(shí)，S有最大值，S_最大＝.

因此，當(dāng)x為時(shí)，矩形框架ABCD的面積S最大，最大面積是平方米．