Question

如圖所示，在一副三角板ABC和三角板DEC中，∠ACB=∠CDE=90°，∠BAC=60°，∠DEC=45°．
（1）當(dāng)AB∥DC時(shí)，如圖①，求∠DCB的度數(shù)；
（2）當(dāng)CD與CB重合時(shí)，如圖②，判斷DE與AC的位置關(guān)系，并說明理由；
（3）如圖③，當(dāng)∠DCB等于多少度時(shí)，AB∥EC？
（4）當(dāng)AB∥ED時(shí)，如圖④⑤，分別求∠DCB的度數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：平行線的判定與性質(zhì),垂線

專題：計(jì)算題

分析：（1）先根據(jù)互余計(jì)算出∠B=30°，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到∠BCD=∠B=30°；
（2）由于∠ACB=∠CDE=90°，根據(jù)平行線的判定易得DE∥AC；
（3）先利用互余計(jì)算出∠DCE=45°，根據(jù)平行線的判定方法，當(dāng)∠ECB=∠B=30°時(shí)，AB∥CE，易得∠DCB=15°；
（4）如圖④，根據(jù)平行線的性質(zhì)由AB∥DE得到∠CFB=∠CDE=90°，再根據(jù)互余可計(jì)算出∠DCB的度數(shù)；
如圖⑤，作CF∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得CF∥DE，且∠BCF=∠B=30°，∠DCF=∠CDE=90°，則利用∠BCD=∠BCF+∠DCF進(jìn)行計(jì)算．

解答：解：（1）∵∠ACB=90°，∠BAC=60°，
∴∠B=30°，
∵AB∥CD，
∴∠BCD=∠B=30°；
（2）當(dāng)CD與CB重合時(shí)，DE與AC平行．理由如下：
∵∠ACB=∠CDE=90°，
∴DE∥AC；
（3）∵∠CDE=90°，∠DEC=45°，
∴∠DCE=45°，
當(dāng)∠ECB=∠B=30°時(shí)，AB∥CE，
此時(shí)∠DCB=∠DEC-∠ECB=15°；
（4）如圖④，∵AB∥DE，
∴∠CFB=∠CDE=90°，
∵∠B=30°，
∴∠DCB=90°-30°=60°；
如圖⑤，作CF∥AB，
∵AB∥DE，
∴CF∥DE，
∴∠BCF=∠B=30°，∠DCF=∠CDE=90°，
∴∠BCD=∠BCF+∠DCF=120°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行線的判定與性質(zhì)：平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系．平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來尋找角的數(shù)量關(guān)系．應(yīng)用平行線的判定和性質(zhì)定理時(shí)，一定要弄清題設(shè)和結(jié)論，切莫混淆．