Question

20．如圖，已知AD是△ABC的中線，AE=EF=FC，下面給出三個關系式：
①AD=2AG；②GE：BE=1：3；③$\frac{{{S_{△CDF}}}}{{{S_{△BDG}}}}=\frac{2}{3}$，
其中正確的是（　�。�

• A． ①②
• B． ①②③
• C． ①③
• D． ②③

Answer 1

分析 根據三角形的中位線的性質定理和平行線分線段定理的推論即可判定，根據已知對各個關系式進行分析，從而得到正確的選項．

解答 解：∵AD是△ABC的中線，
∴BD=DC，
∵EF=FC，
∴DF為△CBE的中位線，
∴DF∥BE，
∴△CDF∽△CBE，△AGE∽△ADF
∴GE：DF=AG：AD=1：2，DF：BE=1：2
∴GE：BE=1：4
∴①正確；
連接GF，設BE、DF之間的距離是h，

根據題意，得
S_△BDG=$\frac{1}{2}$BG•h，S_{四邊形EFDG}=S_△DFG+S_△EGF=$\frac{1}{2}$DF•h+$\frac{1}{2}$EG•h，
又∵DF：BG=2：3，$\frac{1}{2}$DF=GE，
∴S_△BDG=$\frac{3}{4}$DF•h，S_{四邊形EFDG}=$\frac{3}{4}$DF•h，
∴S_△BDG=S_{四邊形EFDG}，
∴$\frac{{{S_{△CDF}}}}{{{S_{△BDG}}}}=\frac{2}{3}$．
故選C．

點評 本題考查了三角形中位線定理、平行線分線段成比例定理．解題的關鍵是證明DF是△CBE的中位線，EG是△ADF的中位線．