Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線交軸于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn).

（1）求此拋物線的解析式；
（2）若此拋物線的對稱軸與直線交于點(diǎn)D，作⊙D與x軸相切，⊙D交軸于點(diǎn)E、F兩點(diǎn)，求劣弧  的長；
（3）P為此拋物線在第二象限圖像上的一點(diǎn)，PG垂直于軸，垂足為點(diǎn)G，試確定P點(diǎn)的位置，使得△PGA的面積被直線AC分為1︰2兩部分.

Answer 1

（1）
（2）   （3）當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為或時，
△PGA的面積被直線AC分成1︰2兩部分．    

解析試題分析：（1）∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，．
∴， 解得.
∴拋物線的解析式為：.           3分
（2）易知拋物線的對稱軸是.把x=4代入y=2x得y=8，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4,8）．
∵⊙D與x軸相切，∴⊙D的半徑為8．                    4分
連結(jié)DE、DF，作DM⊥y軸，垂足為點(diǎn)M．
在Rt△MFD中，F(xiàn)D=8，MD=4．
∴∠MDF=60°，∴∠EDF=120°．                   6分
∴劣弧EF的長為：．                7分
（3）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b. ∵直線AC經(jīng)過點(diǎn).
∴，解得.∴直線AC的解析式為：.   8分
設(shè)點(diǎn)，PG交直線AC于N，
則點(diǎn)N坐標(biāo)為.∵.
∴①若PN︰GN=1︰2，則PG︰GN=3︰2，PG=GN.
即=.
解得：m₁=－3， m₂=2（舍去）.
當(dāng)m=－3時，=.
∴此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為.                   10分
②若PN︰GN=2︰1，則PG︰GN=3︰1， PG=3GN.
即=.
解得：，（舍去）.當(dāng)時，=.
∴此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為.
綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為或時，
△PGA的面積被直線AC分成1︰2兩部分．    
考點(diǎn)：圓與拋物線
點(diǎn)評：本題是圓與拋物線知識的題，本題考查用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，直線與圓相交及相切，用待定系數(shù)法求直線與圓的交點(diǎn)，直線，圓，拋物線三者放在一起，是考試熱點(diǎn)