Question

如圖，邊長為1的菱形ABCD中，A在原點，B在x軸正半軸上，∠DAB=60°．連接對角線AC，以AC為邊作第二個菱形ACC₁D₁，∠D₁AC=60°；連接AC₁，再以AC₁為邊作第三個菱形AC₁C₂D₂，使∠D₂AC₁=60°，…，C、C₁、C₂、C₃…按逆時針方向排列，按此規(guī)律所作的第2015個菱形AC₂₀₁₃C₂₀₁₄D₂₀₁₄的頂點C₂₀₁₄的坐標為

 

．

Answer 1

考點：菱形的性質,坐標與圖形性質

專題：規(guī)律型

分析：連接BD交AC于E，根據(jù)菱形的對角線平分一組對角線求出∠BAC=30°，根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分可得AC⊥BD，然求出AE，再求出AC，從而判斷出下一個菱形的邊與上一個菱形的邊的夾角為30°并且邊長為上一個菱形邊長的

3

倍，然后判斷出每12個菱形為一個循環(huán)組依次循環(huán)，再用2015除以12，根據(jù)商和余數(shù)的情況確定出點C₂₀₁₄的位置與長度，然后解直角三角形并寫出點C₂₀₁₄的坐標即可．

解答：解：如圖，連接BD交AC于E，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠BAC=

1

2

∠BAC=

1

2

×60°=30°，AC⊥BD，
∴AE=AB•cos30°=

3

2

AB，
∴AC=2AE=2×

3

2

AB=

3

×1=

3

，
同理∠CAC₁=30°，AC₁=（

3

）²，
…，
每12個菱形為一個循環(huán)組依次循環(huán)，且AC₂₀₁₄=（

3

）²⁰¹⁵，
∵2015÷2=167余11，
∴菱形AC₂₀₁₃C₂₀₁₄D₂₀₁₄是第168組的最后一個菱形，AC₂₀₁₄在第四象限，
∵（

3

）²⁰¹⁵×

3

2

=

( 3 )2016

2

，
（

3

）²⁰¹⁵×

1

2

=

( 3 )2015

2

，
∴頂點C₂₀₁₄的坐標為（

( 3 )2016

2

，-

( 3 )2015

2

）．
故答案為：（

( 3 )2016

2

，-

( 3 )2015

2

）．

點評：本題考查了菱形的性質，解直角三角形，銳角三角函數(shù)，熟記性質并求出菱形的邊的規(guī)律性變化是解題的關鍵．