Question

經(jīng)過x軸上A（-1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)的拋物線y=ax²+bx+c交y軸于點(diǎn)C，設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，若以DB為直徑的⊙G經(jīng)過點(diǎn)C，求解下列問題：

（1）用含a的代數(shù)式表示出C，D的坐標(biāo)；
（2）求拋物線的解析式；
（3）如圖，當(dāng)a＜0時(shí)，能否在拋物線上找到一點(diǎn)Q，使△BDQ為直角三角形？你能寫出Q點(diǎn)的坐標(biāo)嗎？

Answer 1

解：（1）設(shè)拋物線的解析式為 則=a（x-1）2-4a 則點(diǎn)D的坐標(biāo)為 點(diǎn)C的坐標(biāo)為。
（2）過點(diǎn)D作DE⊥y軸于E，如圖①所示： 則有△DEC∽△COB ∴ ∴ ∴a2=1，a=±1 拋物線的解析式為y=x2-2x-3或y=-x2+2x+3。
（3）a＜0時(shí)，a=-1，拋物線y=-x2+2x+3， 這時(shí)可以找到點(diǎn)Q，很明顯，點(diǎn)C即在拋物線上， 又在⊙G上，∠BCD=90°，這時(shí)Q與C點(diǎn)重合，點(diǎn)Q坐標(biāo)為Q（0，3） 如圖②，若∠DBQ為90°，作QF⊥y軸于F，DH⊥x軸于H 可證Rt△DHB∽Rt△BFQ 有 則點(diǎn)Q坐標(biāo)（k，-k2+2k+3） 即 化簡為2k2-3k-9=0 即（k-3）（2k+3）=0 解之為k=3或k= 由k=得Q坐標(biāo)：
如圖③，延長DQ交y軸于M，作DE⊥y軸于E，DH⊥x軸于H 可證明△DEM∽△DHB 即 則 得 點(diǎn)M的坐標(biāo)為 DM所在的直線方程為 則與y=-x2+2x+3的解為 得交點(diǎn)坐標(biāo)Q為 即滿足題意的Q點(diǎn)有三個(gè)：（0，3），。