Question

如圖，在正方形ABCD中，點E、F分別在BC和CD上，AE=AF．
（1）試說明∠BAE=∠DAF；
（2）連接AC交EF于點O，延長OC至點M，使OM=OA，連接EM、FM．判斷四邊形AEMF是什么特殊四邊形，并說明你的理由．

Answer 1

考點：正方形的性質,全等三角形的判定與性質,平行四邊形的判定與性質

專題：

分析：（1）求簡單的角相等，可證兩角所在的三角形全等，即證△ABE≌△ADF；
（2）由于四邊形ABCD是正方形，易得∠ECO=∠FCO=45°，BC=CD；聯(lián)立（1）的結論，可證得EC=CF，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質可證得OC（即AM）垂直平分EF；已知OA=OM，則EF、AM互相平分，再根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，即可判定四邊形AEMF是菱形．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠D=90°，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
∵

AD=AB AF=AE

，
∴Rt△ADF≌Rt△ABE（HL）
∴BE=DF；

（2）解：四邊形AEMF是菱形，理由為：
證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BCA=∠DCA=45°（正方形的對角線平分一組對角），
BC=DC（正方形四條邊相等），
∵BE=DF（已證），
∴BC-BE=DC-DF（等式的性質），
即CE=CF，
在△COE和△COF中，

CE=CF ∠ACB=∠ACD OC=OC

，
∴△COE≌△COF（SAS），
∴OE=OF，又OM=OA，
∴四邊形AEMF是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形），
∵AE=AF，
∴平行四邊形AEMF是菱形．

點評：本題主要考查對正方形的性質，平行四邊形的判定，菱形的判定，平行線分線段成比例定理，全等三角形的性質和判定等知識點的理解和掌握，能綜合運用這些性質進行推理是解此題的關鍵．