Question

3．如圖，點A是射線OX上一點，OA=4，過A作AB⊥OX，且AB=2，連結OB，作∠XOY=∠ABO，過B任作一直線m，分別交射線AX，射線OY于C，D兩點，設$\frac{BC}{CD}$=$\frac{1}{k}$
（1）當k=2時，求點D到射線OX的距離；
（2）請用含k的代數(shù)式表示△OCD的面積，并寫出k的取值范圍；
（3）若△OCD是等腰三角形時，求k的值．

Answer 1

分析 （1）作DE⊥OX于E，判定△CAB∽△CED，得出$\frac{AB}{DE}$=$\frac{BC}{DC}$=$\frac{1}{2}$，進而得到DE=4，即點D到射線OX的距離為4；
（2）根據(jù)$\frac{AB}{DE}$=$\frac{BC}{DC}$，可得$\frac{2}{DE}$=$\frac{1}{k}$，進而得到DE=2k，再根據(jù)△CAB∽△CED，可得$\frac{CA}{CE}$=$\frac{BC}{CD}$，進而得到OC=$\frac{3k}{k-1}$，最后根據(jù)S_△OCD=$\frac{1}{2}$OC×DE進行計算即可；
（3）分三種情況討論：當OC=CD時，過C作CF⊥OY于F；當OD=CD時，OE=CE=$\frac{1}{2}$OC；當OC=OD時，$\frac{3k}{k-1}$=$\sqrt{5}$k，分別求得k的值即可．

解答 解：（1）作DE⊥OX于E，
∵AB⊥OX，DE⊥OX，
∴AB∥DE，
∴△CAB∽△CED，
∴$\frac{AB}{DE}$=$\frac{BC}{DC}$=$\frac{1}{2}$，
∵AB=2，
∴DE=4，即點D到射線OX的距離為4；

（2）由（1）可得，$\frac{AB}{DE}$=$\frac{BC}{DC}$，
∴$\frac{2}{DE}$=$\frac{1}{k}$，
∴DE=2k，
∵$\frac{DE}{OE}$=tan∠XOY=tan∠ABO=$\frac{OA}{OB}$=$\frac{4}{2}$=2，
∴OE=$\frac{1}{2}$DE=k，
∴AE=4-k，
∵△CAB∽△CED，
∴$\frac{CA}{CE}$=$\frac{BC}{CD}$，
∴$\frac{CA}{CA+4-k}$=$\frac{1}{k}$，
∴CA=$\frac{4-k}{k-1}$，
∴OC=$\frac{4-k}{k-1}$+4=$\frac{3k}{k-1}$，
∴S_△OCD=$\frac{1}{2}$OC×DE=$\frac{1}{2}$×$\frac{3k}{k-1}$×2k=$\frac{3{k}^{2}}{k-1}$（1＜k≤4）；

（3）①如圖，當OC=CD時，過C作CF⊥OY于F，
則OF=$\frac{1}{2}$OD=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{k}^{2}+（2k）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$k，
∵$\frac{CF}{OF}$=tan∠XOY=2，
∴CF=$\sqrt{5}$k，
∵S_△OCD=$\frac{1}{2}$OD×CF，
∴$\frac{1}{2}$×$\sqrt{5}$k×$\sqrt{5}$k=$\frac{3{k}^{2}}{k-1}$，
∴k=$\frac{11}{5}$；
②當OD=CD時，OE=CE=$\frac{1}{2}$OC，
∴k=$\frac{1}{2}$×$\frac{3k}{k-1}$，
∴k=$\frac{5}{2}$；
③當OC=OD時，$\frac{3k}{k-1}$=$\sqrt{5}$k，
∴k=$\frac{3}{5}\sqrt{5}$+1．

點評 本題屬于相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質，解直角三角形以及等腰三角形的性質的綜合應用，解決問題的關鍵是作輔助線構造相似三角形，依據(jù)相似三角形的對應邊成比例進行求解．解題時注意分類思想的運用．