Question

如圖，已知點A（2，0）、B（0，4），一點P距離O點2t個單位（0＜t＜2），過點P作平行于AB的直線交x軸于點Q．
（1）用含t的代數(shù)式表示點Q的坐標；
（2）若∠AOB的平分線交AB于C，求出C點的坐標；
（3）在（2）的條件下，設OA的中點為M，點Q在線段OM上，若△PQC的面積為

5

9

，求此時t的值．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）易證△OPQ∽△OBA，根據(jù)相似三角形相似比可解本題；
（2）根據(jù)A、B點可以求出直線AB的解析式，即可求得點C的坐標；
（3）過O作直線l∥AB，作CE⊥l，可以求得CD的長（用t表示），再根據(jù)相似三角形對應邊比例相等的性質(zhì)可以求得t的值．

解答：解：（1）∵PQ∥AB
，∴△OPQ∽△OBA，
∴

OP

OB

=

OQ

OA

，
∴點Q橫坐標為t，
∴點Q坐標為（t，0）；
（2）∵∠AOB的平分線交AB于C，
∴C到OB、OA的距離相等
設C橫坐標為x，則縱坐標為x，
∵直線AB經(jīng)過A、B兩點，
∴直線AB解析式為y=-2x+4，
∵點C在直線AB上，
∴x=-2x+4，x=

4

3

，
∴C點坐標為（

4

3

，

4

3

）；
（3）過O作直線l∥AB，作CE⊥l，則

設OA的中點為M，點Q在線段OM上，
則0＜t＜1，
∵DE=

OP•OQ

PQ

=

2 5 t

5

，
∵

DE

DC

=

OQ

QA

，
∴CD=

2 5 (2-t)

5

∵△PQC的面積為

5

9

=

1

2

•

5

t•CD，
化簡得t（2-t）=

5

9

，
解得t=

1

3

或

5

3

（不滿足題意，舍去），
∴t=

1

3

．

點評：本題考查了一次函數(shù)在平面直角坐標系中的運用，考查了相似三角形對應邊比例相等的性質(zhì)，考查了直線解析式的求解．