Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，我把由兩條射線AE，BF和以AB為直徑的半圓所組成的圖形叫作圖形C（注：不含AB線段）。已知A（，），B（，），AE∥BF，且半圓與y軸的交點D在射線AE的反向延長線上。

（1）求兩條射線AE，BF所在直線的距離；

（2）當一次函數的圖象與圖形C恰好只有一個公共點時，寫出b的取值范圍；

當一次函數的圖象與圖形C恰好只有兩個公共點時，寫出b的取值范圍；

（3）已知□AMPQ（四個頂點A，M，P，Q按順時針方向排列）的各頂點都在圖形C上，且不都在兩條射線上，求點M的橫坐標x的取值范圍。

             

Answer 1

[解] (1) 分別連結AD、DB，則點D在直線AE上，

　　　　 如圖1,

　　　　 ∵ 點D在以AB為直徑的半圓上，

　　　　 ∴∠ADB=90°,

　　　　 ∴ BD⊥AD.

　　　　 在Rt△DOB中，由勾股定理得

　　　　 BD==.

　　　　 ∵ AE//BF,兩條射線AE、BF所在直線的距離為．

　　 (2) 當一次函數y=x+b的圖象與圖形C恰好只有一個公共點時，b的取值范圍是

　　　　 b=或-1<b<1；

　　　　 當一次函數y=x+b的圖象與圖形C恰好只有兩個公共點時，b的取值范圍是

　　　　 1<b<；

　　 (3) 假設存在滿足題意的□ AMPQ，根據點M的位置，分以下四種情況討論：

　　　　 j 當點M在射線AE上時，如圖2.

　　　　　 ∵ A、M、P、Q四點按順時針方向排列，

　　　　　 ∴ 直線PQ必在直線AM的上方，

　　　　　 ∴ P、Q兩點都在AD弧上，且不與A、D

　　　　　 重合. ∴ 0<PQ<.

　　　　　 ∵ AM//PQ且AM=PQ,

　　　　　 ∴ 0<AM<,∴ -2<x<-1.

　　　　 k 當點M在AD弧(不包括點D)上時，如圖3.

　　　 　　∵ A、M、P、Q四點按順時針方向排列，

　　　　　 ∴ 直線PQ必在直線AM的下方。

　　　　　 此時，不存在滿足題意的平行四邊形。

　　　　 l 當點M在DB弧上時，設DB弧的中點為R，

　　　　　 則OR//BF.

　　　　　 (i) 當點M在DR弧(不包括點R)上時，如圖4.

　　　　　　　 過點M作OR的垂線交DB弧于點O，

　　　　　　　 垂足為點S，可得S是MQ的中點.

　　　　　　　 連結AS并延長交直線BF于點P.

　　　　　　　 ∵ O為AB的中點，可證S為AP的中點.

　　　　　　　 ∴ 四邊形AMPQ為滿足題意的平行四邊形.

　　　　　　　 ∴ 0＜x<.

　　　　　 (ii) 當點M在RB上時，如圖5.

　　　　　　　 直線PQ必在直線AM的下方.

　　　　　　　 此時，不存在滿足題意的平行四邊形.

　　　　 m 當點M在射線BF(不包括點B)上時，如圖6.

　　　　　 直線PQ必在直線AM的下方.

　　　　　 此時，不存在滿足題意的平行四邊形.

　　　　 綜上，點M的橫坐標x的取值范圍是-2<x<-1或0＜x<.